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1、第 1 页 共 12 页 2021 年中考数学复习题 考点 20 等腰三角形 等边三角形和直角三角形 一 选择题 共5 小题 1 湖州 如图 AD CE分别是 ABC的中线和角平分线 若 AB AC CAD 20 则 ACE的度数是 A 20 B 35 C 40 D 70 分析 先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出 CAB 2 CAD 40 B ACB 180 CAB 70 再利用角平分线定义即可得出 ACE ACB 35 解答 解 AD是 ABC的中线 AB AC CAD 20 CAB 2 CAD 40 B ACB 180 CAB 70 CE是 ABC的角平分线 ACE ACB 3
2、5 故选 B 2 宿迁 若实数 m n 满足等式 m 2 0 且 m n 恰好是等腰 ABC 的两条边的边长 则 ABC的周长是 A 12 B 10 C 8 D 6 分析 由已知等式 结合非负数的性质求m n 的值 再根据 m n 分别作为 等腰三角形的腰 分类求解 解答 解 m 2 0 m 2 0 n 4 0 解得 m 2 n 4 第 2 页 共 12 页 当 m 2 作腰时 三边为 2 2 4 不符合三边关系定理 当 n 4作腰时 三边为2 4 4 符合三边关系定理 周长为 2 4 4 10 故选 B 3 扬州 在 Rt ABC中 ACB 90 CD AB于 D CE平分 ACD交 AB于
3、 E 则下列结论一定成立的是 A BC EC B EC BE C BC BE D AE EC 分析 根据同角的余角相等可得出 BCD A 根据角平分线的定义可得出 ACE DCE 再结合 BEC A ACE BCE BCD DCE即可得出 BEC BCE 利用等角对等边即可得出BC BE 此题得解 解答 解 ACB 90 CD AB ACD BCD 90 ACD A 90 BCD A CE平分 ACD ACE DCE 又 BEC A ACE BCE BCD DCE BEC BCE BC BE 故选 C 4 淄博 如图 在 Rt ABC中 CM平分 ACB交 AB于点 M 过点 M 作 MN B
4、C交 AC于点 N 且 MN 平分 AMC 若 AN 1 则 BC的长为 A 4 B 6 C D 8 第 3 页 共 12 页 分析 根据题意 可以求得 B 的度数 然后根据解直角三角形的知识可以求 得 NC的长 从而可以求得BC的长 解答 解 在Rt ABC中 CM 平分 ACB交 AB于点 M 过点 M 作 MN BC交 AC于点 N 且 MN 平分 AMC AMN NMC B NCM BCM NMC ACB 2 B NM NC B 30 AN 1 MN 2 AC AN NC 3 BC 6 故选 B 5 黄冈 如图 在 Rt ABC中 ACB 90 CD为 AB边上的高 CE为 AB边 上
5、的中线 AD 2 CE 5 则 CD A 2 B 3 C 4 D 2 分析 根据直角三角形的性质得出AE CE 5 进而得出DE 3 利用勾股定理 解答即可 解答 解 在Rt ABC中 ACB 90 CE为 AB边上的中线 CE 5 AE CE 5 AD 2 DE 3 CD为 AB边上的高 在 Rt CDE中 CD 故选 C 第 4 页 共 12 页 二 填空题 共12小题 6 成都 等腰三角形的一个底角为50 则它的顶角的度数为80 分析 本题给出了一个底角为50 利用等腰三角形的性质得另一底角的大小 然后利用三角形内角和可求顶角的大小 解答 解 等腰三角形底角相等 180 50 2 80
6、顶角为 80 故填 80 7 长春 如图 在 ABC中 AB AC 以点 C为圆心 以 CB长为半径作圆弧 交 AC的延长线于点 D 连结 BD 若 A 32 则 CDB的大小为37度 分析 根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理在 ABC中可求得 ACB ABC 74 根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在 BCD中可求得 CDB CBD ACB 37 解答 解 AB AC A 32 ABC ACB 74 又 BC DC CDB CBD ACB 37 故答案为 37 8 哈尔滨 在 ABC中 AB AC BAC 100 点 D 在 BC边上 连接 AD 若 ABD为直角三角形 则 AD
7、C的度数为130 或 90 分析 根据题意可以求得 B和 C的度数 然后根据分类讨论的数学思想即 可求得 ADC的度数 第 5 页 共 12 页 解答 解 在 ABC中 AB AC BAC 100 B C 40 点 D 在 BC边上 ABD为直角三角形 当 BAD 90 时 则 ADB 50 ADC 130 当 ADB 90 时 则 ADC 90 故答案为 130 或 90 9 吉林 我们规定 等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角 形的 特征值 记作 k 若 k 则该等腰三角形的顶角为36度 分析 根据等腰三角形的性质得出 B C 根据三角形内角和定理和已知得 出 5 A 180
8、求出即可 解答 解 ABC中 AB AC B C 等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的 特征值 记作 k 若 k A B 1 2 即 5 A 180 A 36 故答案为 36 10 淮安 若一个等腰三角形的顶角等于50 则它的底角等于65 分析 利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案 第 6 页 共 12 页 解答 解 等腰三角形的顶角等于50 又 等腰三角形的底角相等 底角等于 180 50 65 故答案为 65 11 娄底 如图 ABC中 AB AC AD BC于 D 点 DE AB于点 E BF AC于点 F DE 3cm 则 BF 6cm 分 析 先 利用H
9、L 证 明Rt ADB Rt ADC 得 出 S ABC 2S ABD 2 AB DE AB DE 3AB 又 S ABC AC BF 将 AC AB代入即可求出 BF 解答 解 在 Rt ADB与 Rt ADC中 Rt ADB Rt ADC S ABC 2S ABD 2 AB DE AB DE 3AB S ABC AC BF AC BF 3AB AC AB BF 3 BF 6 故答案为 6 12 桂林 如图 在 ABC 中 A 36 AB AC BD 平分 ABC 则图中等 腰三角形的个数是3 第 7 页 共 12 页 分析 首先根据已知条件分别计算图中每一个三角形每个角的度数 然后根据 等
10、腰三角形的判定 等角对等边解答 做题时要注意 从最明显的找起 由易到 难 不重不漏 解答 解 AB AC A 36 ABC是等腰三角形 ABC ACB 72 BD平分 ABC EBD DBC 36 在 ABD中 A ABD 36 AD BD ABD是等腰三角形 在 ABC中 C ABC 72 AB AC ABC是等腰三角形 在 BDC中 C BDC 72 BD BC BDC是等腰三角形 所以共有 3 个等腰三角形 故答案为 3 13 徐州 边长为 a 的正三角形的面积等于 分析 根据正三角形的性质求解 解答 解 过点A 作 AD BC于点 D AD BC BD CD a AD a 面积则是 a
11、 a a 2 第 8 页 共 12 页 14 黑龙江 如图 已知等边 ABC的边长是 2 以 BC边上的高 AB1为边作 等边三角形 得到第一个等边 AB1C1 再以等边 AB1C1的 B1C1边上的高AB2 为边作等边三角形 得到第二个等边 AB2C2 再以等边 AB2C2的 B2C2边上的高 AB3为边作等边三角形 得到第三个等边 AB3C3 记 B1CB2的面积为 S1 B2C1B3的面积为 S2 B3C2B4的面积为 S3 如此下去 则 Sn n 分析 由 AB1为边长为 2 的等边三角形 ABC的高 利用三线合一得到B1为 BC 的中点 求出 BB1的长 利用勾股定理求出AB1的长
12、进而求出第一个等边三角 形 AB1C1的面积 同理求出第二个等边三角形AB2C2的面积 依此类推 得到第 n 个等边三角形 ABnCn的面积 解答 解 等边三角形ABC的边长为 2 AB1 BC BB1 1 AB 2 根据勾股定理得 AB1 第一个等边三角形AB1C1的面积为 2 1 等边三角形 AB1C1的边长为 AB2 B1C1 B1B2 AB1 根据勾股定理得 AB2 第二个等边三角形AB2C2的面积为 2 2 依此类推 第 n 个等边三角形 ABnCn的面积为 n 故答案为 n 第 9 页 共 12 页 15 湘潭 如图 在等边三角形 ABC中 点 D 是边 BC的中点 则 BAD 3
13、0 分析 根据等腰三角形的三线合一的性质和等边三角形三个内角相等的性质填 空 解答 解 ABC是等边三角形 BAC 60 AB AC 又点 D 是边 BC的中点 BAD BAC 30 故答案是 30 16 天津 如图 在边长为4 的等边 ABC中 D E分别为 AB BC的中点 EF AC于点 F G为 EF的中点 连接 DG 则 DG的长为 分析 直接利用三角形中位线定理进而得出DE 2 且 DE AC 再利用勾股定 理以及直角三角形的性质得出EG以及 DG的长 解答 解 连接DE 在边长为 4 的等边 ABC中 D E分别为 AB BC的中点 DE是 ABC的中位线 DE 2 且 DE A
14、C BD BE EC 2 EF AC于点 F C 60 FEC 30 DEF EFC 90 第 10 页 共 12 页 FC EC 1 故 EF G为 EF的中点 EG DG 故答案为 17 福建 如图 Rt ABC中 ACB 90 AB 6 D是 AB的中点 则 CD 3 分析 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答 解答 解 ACB 90 D为 AB的中点 CD AB 6 3 故答案为 3 三 解答题 共2 小题 18 绍兴 数学课上 张老师举了下面的例题 例 1 等腰三角形 ABC中 A 110 求 B的度数 答案 35 例 2 等腰三角形 ABC中 A 40 求 B的度数 答案
15、40 或 70 或 100 张老师启发同学们进行变式 小敏编了如下一题 变式 等腰三角形 ABC中 A 80 求 B 的度数 第 11 页 共 12 页 1 请你解答以上的变式题 2 解 1 后 小敏发现 A 的度数不同 得到 B 的度数的个数也可能不 同 如果在等腰三角形ABC中 设 A x 当 B有三个不同的度数时 请你探 索 x 的取值范围 分析 1 由于等腰三角形的顶角和底角没有明确 因此要分类讨论 2 分两种情况 90 x 180 0 x 90 结合三角形内角和定理求解即 可 解答 解 1 若 A 为顶角 则 B 180 A 2 50 若 A为底角 B 为顶角 则 B 180 2 8
16、0 20 若 A为底角 B 为底角 则 B 80 故 B 50 或 20 或 80 2 分两种情况 当 90 x 180 时 A 只能为顶角 B的度数只有一个 当 0 x 90 时 若 A为顶角 则 B 若 A为底角 B 为顶角 则 B 180 2x 若 A为底角 B 为底角 则 B x 当 180 2x且 180 2x x 且 x 即 x 60 时 B有三个不同的度数 综上所述 可知当0 x 90 且 x 60 时 B有三个不同的度数 19 徐州 A 类 已知如图 四边形ABCD中 AB BC AD CD 求证 A C B类 已知如图 四边形ABCD中 AB BC A C 求证 AD CD 第 12 页 共 12 页 分析 A类 连接 AC 由 AB AC AD CD知 BAC BCA DAC DCA 两等式相加即可得 B类 由以上过程反之即可得 解答 证明 A 类 连接 AC AB AC AD CD BAC BCA DAC DCA BAC DAC BCA DCA 即 A C B类 AB AC BAC BCA 又 A C 即 BAC DAC BCA DCA DAC DCA AD CD
