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1、厦门理工学院附中（杏南中学） 2020学年2 学期4月数学(理科)学科高二年段阶段测试卷考试时间： 120分钟 总分： 150一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.1. 复数的值是（ ）A2i B. 2i C. 2 D. 22. 若是纯虚数，则实数m为（ ）A 1 B. 1或2 C. 0 D. 1或1或23设函数可导，则（ ）A B. C. D. 4反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）A假设三内角都不大于60度 B假设三内角都大于60度C假设三内角至多
2、有一个大于60度 D假设三内角至多有两个大于60度5. ( )A. 0 B. 1 C. 2 D.6.下列求导式子，正确的个数是（ ）（8题）, , , , A. 3 B. 4 C. 5 D. 67.函数在点（1，3）处的切线方程是（ ）A B. C. D.8.平行六面体的棱长均为2，ABB=120BBC=60ABC=90, =( )A B. C. D.9复数z的虚部为，模为2，则该复数z =( )A. B. C. D. 10. 已知，奇函数在 上单调，则字母应满足的条件是 （ ）. A.; B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分在答题卷上的相应题目的答题区域内作答.
3、11一物体在力 （单位:N）的作用下，沿与力F相同的方向，从处运动到处.（单位：m）.力所作的功为12.将“函数y=2x+5的图像是一条直线”用三段论表示为：大前提：小前提：结论：13. 数列2，5，11，20，X，47，。; 根据规律X= 归纳猜想通项=14.在等差数列中，若.则有 成立，类比上述性质，在等比数列中，则存在怎样的等式：15.曲线所围成的图形的面积16由图（1）有面积关系：，则由图（2）有体积关系： BAPBA图1BAPBACC图2五、解答题：本大题共6小题，共76分在答题卷上的相应题目的答题区域内写出文字说明，证明过程或演算步骤作答.17. （本题满分12分）长方体点E在棱A
4、B上移动。（1）证明：（2）当点E为AB中点时，求点E到平面的距离。（3）AE等于何值时，二面角的大小为。18（本题满分12分）四面体ABCD中，O是BD的中点，（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（建系向量法）19. （本题满分12分）已知数列计算.由此猜想的表达式，并用数学归纳法证明。20、（本题满分12分）用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.21.（本题满分14分）类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想，并证明。22. （本
5、题满分14分）已知函数 （1）求的单调区间和极值;（2）讨论方程的实数根的个数2020学年2 学期4月数学(理科)学科高二年段阶段测试答题卷一选择题:(共10小题,每小题5分,满分50分)12345678910 BCCBABCBCA11 _ 40 _ 13。X= 32 = _12大前提： 一次函数的图像是直线14小前提：函数y=2x+5是一次函数 15。_ _结论：函数y=2x+5的图像是一条直线 16。_ _本题满分12分)解:以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则（1）（2）因为为的中点，则，从而，设平面的法向量为，则即，得，从而，所以点到平面的距离为（3）设平面的法向量，
6、由令，（舍去）， .时，二面角的大小为（I）证明：连结OC在中，由已知可得而即平面（II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则异面直线AB与CD所成角的余弦值为分)解: 猜想。数学归纳法证明（1）时，左边=右边=，等式成立（2）假设当猜想成立即=+=时猜想成立。根据（1）（2）可知猜想对任何都成立设容器底面短边为x m，则另一边长为 ( x + 0.5 ) m，高为.由3.22 x 0且x 0，得0 x 1.6，容器的容积为y m3，则y = x ( x + 0.5 ) ( 3.22 x ) =2 x 3 + 2.2 x 2 + 1.6 x , ( 0 x 0；当x( 1 , 1.6 )
7、 时，y 0. 函数y =2 x 3 + 2.2 x 2 +1.6 x在 ( 0, 1 ) 上单调递增，在（1，1.6）上单调递减.因此，当x = 1时，y m a x =2 + 2.2 +1.6 = 1.8，这时，高为3.22 1 = 1.2，故容器的高为1.2 m时容器最大，最大容积为1.8 m 3.在四面体中，棱PD，DE，DF两两垂直，三角形DEF，PDE，PDF，PEF的面积分别记。猜想证明：过P做于G，连接DG，PD，DE，DF两两垂直，。=猜想成立本题满分14分)解:（1），列表3极大极小的单调增区间是和，减区间是，极大值，极大值（2）当或时，原方程都有两个实数根当或时，原方程都
8、有一个实数根当 时，原方程都有三个实数根附加题1(本题满分10分)已知函数.（）设an是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点(nN*)在函数y=f(x)的图象上，求证：点（n,Sn）也在y=f(x)的图象上；（）求函数f(x)在区间（a-1,a）内的极值.()证明：因为所以(x)=x2+2x,由点在函数y=f(x)的图象上,又所以所以,又因为(n)=n2+2n,所以,故点也在函数y=f(x)的图象上.()解:,由得.当x变化时,的变化情况如下表:x(-,-2)-2(-2,0)0(0,+)f(x)+0-0+f(x)极大值极小值注意到,从而当,此时无极小值；当的极小值为,此时无极大值；当既无极大值又无极小值.
