现代谱估计(复习大纲).pdf

《现代谱估计(复习大纲).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《现代谱估计(复习大纲).pdf（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、 1 第一章第一章 经典谱估计经典谱估计 一 一 相关函数和功率谱相关函数和功率谱 若 xx mnm 常数 2121 nnrnnr xxxx 即 nxknxEkrxx 则称 nx为广义平稳序列广义平稳序列 若 nx和 ny均为广义平稳序列 且 2121 nnrnnr xyxy 即 nyknxEkrxy 则称 nx和 ny为广义联合平稳序列广义联合平稳序列 广义平稳随机序列 nx的相关函数 krxx和它的功率谱密度 xx P之间是傅立叶变换对的关系 即 k kj xxxx dekrP 1 6 dePkr kj xxxx 2 1 1 7 这一关系式常称为维纳维纳 欣钦定理 欣钦定理 由自相关函数自

2、相关函数和功率谱密度的定义 不难得出它们的一些基本性基本性 质质 主要有 1 当 nx为复序列时 krkr xxxx 若 nx为实序列 则相 关函数为偶函数 即 krkr xxxx 2 相关函数的极大值出现在0 k处 即 0 xxxx rkr 3 若 nx含有周期性分量 则 krxx也含有同一周期的周期性分量 否则 当 k时 0 krxx 4 当 nx为实序列时 xx P为非负实对称函数 即 xxxx PP 和0 xx P 5 平稳随机序列 nx的自相关函数 0 xx r是实的且为正 而且对 任一 na序列和任一M 自相关函数 ACF 满足 1 0 1 0 2 1 0 0 M m xx M n

3、 M n nmrnamanxnaE 1 10 2 这个函数称为半正定的 自相关函数 ACF 和互相关函数 CCF 的 z 变换定义为 k k xxxx zkrzP 1 11 k k xyxy zkrzP 1 12 若令ff 2 为归一化频率 频率区间 2 1 2 1 f为基本周期 则式 1 6 的自功率谱密度和式 1 8 互功率谱密度又可分别表示为 k fkj xxxx ekrfP 2 1 13 k fkj xyxy ekrfP 2 1 14 fPxx是实的 且非负是实的 且非负 当一平稳随机序列 nx通过一个脉冲响应为 nh的线性非时变 系统时 其输出序列 ny也是一平稳随机序列 它的自相关

4、函数为 kryy krkhkh xx 1 16 1 zP z HzHzP xxyy 1 17 若 nh为实系统 则 1 1 z H z H 令 2exp exp fjjz 得到相 应的功率谱表达 2 xxyy PHP 1 26a 或 2 fPfHfP xxyy 1 26b 上述关系对以后讨论谱估计问题是很有用的 2 1 2 1 2 1 0 dffPdPr yyyy 为输出过程 ny的平均功率 经常遇到的一种过程是离散白噪声 它的自相关函数 ACF 定 义为 3 2 kkr xxx 1 29 其中 k 是离散冲激函数 这就是说 各样本之间彼此是不相关 的 22 2 1 2 1 x fj xxxx

5、 dfekrfP 1 30 这表明它在各频率上是完全平坦的 换句话说 白噪声的所有频率分 量均具有相同的功率 二 二 相关函数的估计相关函数的估计 1 1 自相关函数的各态历经性自相关函数的各态历经性 一般说来 严格各态历经过程允许我们用时间平均来代替系综平 均 集合平均或统计平均 用时间平均作为广义平稳随机过程均值的估计 M Mn x M nxEnx M 12 1 lim 1 34 M Mn xx M krknxnxEknxnx M 12 1 lim 1 36 2 2 相关函数的估计相关函数的估计 我们实际所能得到的随机序列的样本数总是有限的 由有限个样 本通过某种运算求出的序列的均值和自相

6、关函数统计特征值叫做它 们的估计值 下面讨论随机序列有限个样本的相关函数的估计问题 设 1 1 0 Nnnx 为实随机序列 nx的一批样本 共有 N 个 值 有时简称之为长度为 N 的随机序列 nx 方法一方法一 根据假定的自相关函数的各态历经性 或遍历性 可用 下式估计它的自相关函数 即 1 0 1 kN n xx nxknx kN kr 1 38 1 1 0 kN n xx nxknxE kN krE 1 0 1 kN n xxxx krkr kN 1 39 当 N时 0 var krxx 4 因此 krxx是相关函数 krxx的无偏估计且是渐近一致的 即当k为有限 值时 krxx是 kr

7、xx的一致估计 方法二方法二 有限长度序列 1 1 0 Nnnx 的相关函数 krxx的另一 种估计方法可表示为 1 0 1 kN n xx nxknx N kr 1 42 1 1 0 kr N kN nxknxE N krE xx kN n xx 1 43 可见 它是相关函数 krxx的有偏估计 但是 当 N 估计值是渐 近无偏的 当 N时 0 var krxx 即 1 42 式的 krxx也是 krxx的一致估计 1 42 式所定义的相关函数取傅立叶变换求功率谱估计时 在 计算上有某些方便之处 以后的讨论中 如不作特别申明 将采用这 种有偏估计表示式求相关函数的估计式 三 功率谱密度的另一

8、个定义三 功率谱密度的另一个定义 可以证明 功率谱密度 PSD 的一个近似等效的定义是 2 exp 12 1 lim 2 fnjnx M EfP M Mn M xx 1 45 上式定义的 PSD 与维纳一辛钦定理 k xxxx fkjkrfP 2exp 1 46 是等效的 由 1 45 式和由 1 46 式维纳一辛钦定理给出的 PSD 的等效 定义将作为经典谱估计方法的基础 5 四 四 周期图周期图 周期图谱估计器定义为 2 1 0 2exp 1 N n PER fnjnx N fP 1 48 可以证明 周期图等于估计出的自相关序列的傅里叶变换 或 1 1 2exp N Nk xxPER fk

9、jkrfP 其中 krxx是有偏自相关函数的估计值 定义为 kN n xx knxnx N kr 1 0 1 周期图的期望值是 fPE PER 2 1 2 1 dPfWkrkw xxBxxB 1 49 式中 fWB是巴特利特 Bartlett 窗 三角形窗 的傅里叶变换 由式 由式 1 1 4949 可知周期图的均值 可知周期图的均值 fPE PER 是真实是真实 PSDPSD 和巴特利特和巴特利特 窗傅里叶变换的卷积窗傅里叶变换的卷积 在平均意义上得到真实功率谱密度 PSD 的 平滑形式 因此对有限记录数据 周期图一般有偏的 但是当周期图一般有偏的 但是当 N 时 它是无偏的时 它是无偏的

10、limfPfPE xxPER N 这是由于 fWB收敛到狄拉克 函数 对于高斯白噪声的特殊情况 22 xxxxxx fPkkr 结果为 2 fPfPE xxxPER 1 50 对于白噪声情况 即使有限记录数据 周期图也是无偏的 对于白噪声情况 即使有限记录数据 周期图也是无偏的 对于白高斯过程对于白高斯过程 2 fPfPE xxxPER 方差 var fPPER 2sin 2sin 1 22 fN Nf fPxx 1 52 6 对任对任何非白过程何非白过程 只要记录数据足够长 2sin 2sin 1 var 22 fN Nf fPfP xxPER 对于不靠近 0 或 2 1 的频率 且 N时

11、上式近似地退化为 var 2 fPfP xxPER 1 53 可以看出 方差与数据长度可以看出 方差与数据长度 N N 无关 即方差不随无关 即方差不随 N N 的增大而减小至零 的增大而减小至零 由此可得出一个重要的看法 周期图估计器是不可靠的 因为标准离由此可得出一个重要的看法 周期图估计器是不可靠的 因为标准离 差 方差的平方根 和均值一样大 因而周期图不是一致估计而其均差 方差的平方根 和均值一样大 因而周期图不是一致估计而其均 值近似地等于要估计的量值 值近似地等于要估计的量值 上述的重要结论表明 我们不能寄希望于直接用周期图方法获得 良好的谱估计 必须采用适当的修正措施减小估计方差

12、 才能使之成 为一种实用的方法 五 周期图法改进措施五 周期图法改进措施 1 1 数据窗数据窗 周期图法只用了 N 个样本 这可以看作是用一长度为 N 的矩形窗 函数与原来无限长的序列相乘的结果 我们知道 时域中两函数相乘 对应于频域中它们的傅立叶变换的卷积 由此可以想到 当用周期图当用周期图 方法作谱估计时 它的谱分辨率约与方法作谱估计时 它的谱分辨率约与 N N 成反比 且和信号本身的特征 成反比 且和信号本身的特征 例如信噪比等无关例如信噪比等无关 此外 如果序列是由多个正弦波信号组成的 而 各分量强度不等 则弱信号分量可能淹没在强信号谱的旁瓣中而无法 发现 这种所谓信号能量 向旁瓣 泄

13、漏现象如果不设法消除 也将 妨碍周期图谱估计法的应用 周期图改进的方法之一是将长度为周期图改进的方法之一是将长度为N N的序列的序列 nx乘以同一长度的乘以同一长度的 数据窗数据窗 nw 数据加窗后的周期图谱估计值的数学期望值等于谱的真实值与窗数据加窗后的周期图谱估计值的数学期望值等于谱的真实值与窗 谱函数的平方的卷积 显然它不等于功率谱的真实值 因而是有偏估谱函数的平方的卷积 显然它不等于功率谱的真实值 因而是有偏估 计 计 7 若序列为单频信号 则若序列为单频信号 则 fPxx为为 函数 这样 数据加窗后的谱函数 这样 数据加窗后的谱 估计值的均值与窗谱函数的平方形状相同 因此选用低旁瓣的

14、数据窗估计值的均值与窗谱函数的平方形状相同 因此选用低旁瓣的数据窗 可使得杂散响应减少 但旁瓣的降低必然使主瓣加宽 而且降低了分可使得杂散响应减少 但旁瓣的降低必然使主瓣加宽 而且降低了分 辨率 辨率 数据加窗后 周期图谱估计值的方差大于或近似等于谱估计值的 平方 且不随数据长度的增大而减小到 0 从以上的分析可知 数据加窗用于周期图谱估计可以降低谱估计数据加窗用于周期图谱估计可以降低谱估计 值的旁瓣 但要降低谱估计的分瓣率 而用数据加窗的办法不能减小值的旁瓣 但要降低谱估计的分瓣率 而用数据加窗的办法不能减小 估计方差估计方差 2 2 平均周期图平均周期图 为了改进周期图的统计特性 可以近似

15、地用对一组周期图进行平均为了改进周期图的统计特性 可以近似地用对一组周期图进行平均 的方法完成期望运算 的方法完成期望运算 假定在区间10 Ln上有k组独立记录数据 并 且都是同一随机过程的现实 平均周期图估计器定义为 1 0 1 K m m PERAVPER fP K fP 1 65 其中 fP m PER 是第m个数据组的周期图 2 1 0 2exp 1 L n m m PER fnjnx L fP 1 66 2 1 2 1 dPfWfPE xxBAVPER 但是方差将减少 K 倍 var 1 var fP K fP m PERAVPER 1 68 谱估计器具有L 1周 样本的分辨率 显然

16、 为了获得最大分辨率 L 将尽可能选得大一些或就选 1 NL 此时 平均周期图就成为标准周期图估计 但有时为了减 小方差 应该把LNK 选得大一些 或等效地把 L 取得小一些 因 为这两个目的不可能同时实现 所以必须调整 L 在方差和偏差之间进 行折衷 减小偏差的一种很有用的技术是在谱估计之前对数据预白化 8 六 六 BTBT 谱估计器谱估计器 fkj xx N Nk BT ekrkwfP 2 1 1 1 74 其中 kw是实序列 称为滞后窗 根据滞后窗的性质 1 74 式可 以写成 M Mk fkj xxBT ekrkwfP 2 1 75 上式称为布莱克曼 杜基 Blackman and Tukey 1958 BT 谱估计器 如果1 1 NMkkw 则它等效于周期图 BT 谱估计器有时称为加权协方差估计器 对自相关函数估计器加权 将减小谱估计器的方差 但以增大偏差为代价 白噪声过程除外 对 于它使用任何滞后窗偏差均为 0 有很多可利用的窗 对于实数据过程 由 1 76 式可得 BT 谱估计器的均值 dPEfWfPE PERBT 2 1 2 1 对于长记录数据计算 可得 dPfWfPE