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1、第十讲四边形 二 1 复习矩形 菱形 正方形的判定与性质 2 复习运用矩形 菱形 正方形的判定和性质解决相关的证明和计算问题 复习目标 1 矩形的四个角都是直角 对角线相等 菱形的四条边相等 对角线互相垂直平分 2 三个角是直角的四边形 或对角线相等的平行四边形是矩形 四边相等的四边形 或对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3 是矩形又是菱形的四边形是正方形 正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质 知识要点 例1如图 已知矩形ABCD中 对角线AC BD相交于点O AE BD 垂足为E DAE BAE 3 1 求 EAC的度数 分析 本题充分利用矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形的基本图形进行求
2、解 答案 45 典型例题 例2如图 四边形ABCD是菱形 AC BD相交于点O 过O分别作各边的垂线 垂足分别为E F G H 求证 四边形EFGH是矩形 分析 由于菱形的四条边都相等且对角互相垂直 以证明菱形被对角线所分成的四个三角形是全等的直角三角形 而OE OF OH OG都是直角三角形斜边上的高 故OE OF OG OH 即证明四边形EFGH是矩形 证明 四边形ABCD是菱形 AB BC CD AD OD OB OA OC且AC BD Rt AOD Rt AOB Rt COD Rt COB OE OF OG OH分别是三角形斜边上的高 OE OF OG OH 四边形EFGH是矩形 典型
3、例题 例3如图 在 ABC中 BAC 90 AD BC于D CE平分 ACB 交AD于G 交AB于E EF BC于F 求证 四边形AEFG是菱形 分析 由已知可知 图中有平行线 就可证明角相等 线段相等 因此 可先证四边形AEFG是平行四边形 再证一组邻边相等 证明 BAC 90 EF BC CE平分 ACB AE EF CEA CEF AD BC EF BC EF AD CEF AGE CEA AGE AE AG EF AG 且EF AG 四边形AEFG是平行四边形 又 AE EF 平行四边形AEFG是菱形 典型例题 例4已知 如图 O为ABCD对角线BD的中点 MN过O且垂直BD 分别交C
4、D AB于M N 求证 四边形DNBM是菱形 分析 已知MN为BD的垂直平分线 有DM BM DN BN 又由 DOM BON 得DM BN 即由四条边都相等的四边形是菱形可证得结论 证明 MN为BD的垂直平分线 DM BM DN BN又 DOM BON DM BN DM BM BN DN 四边形DNBM是菱形 四条边都相等的四边形是菱形 典型例题 例5如图 E F分别是正方形ABCD的边AB BC上的点 且EF AC 在DA的延长线上取一点G 使AG AD EG与DF相交于点H 求证 AH AD 分析 因为A是DG的中点 故在 DGH中 若AH AD 当且仅当 DGH为直角三角形 所以只须证
5、明 DGH为直角三角形 典型例题 例6如图 在正方形ABCD中 P Q分别是BC CD上的点 若 PAQ 450 求证 PB DQ PQ 分析 利用正方形的性质 通过构造全等三角形来证明 典型例题 一 填空题 1 若矩形的对称中心到两边的距离差为4 周长为56 则这个矩形的面积为 2 已知菱形的锐角是60 边长是20cm 则较短的对角线长是cm 3 如图 矩形ABCD中 O是对角线的交点 若AE BD于E 且OE OD 1 2 AE cm 则DE cm 能力训练 4 如图 P是矩形ABCD内一点 PA 3 PD 4 PC 5 则PB 5 如图 在菱形ABCD中 B EAF 60 BAE 20
6、则 CEF 能力训练 6 如图 将正方形ABCD的BC边延长到E 使CE AC AE与CD边相交于F点 那么CE FC 7 如图 把正方形ABCD沿着对角线AC的方向移动到正方形的位置 它们的重叠部分的面积是正方形ABCD面积的一半 若AC 则正方形移动的距离是 能力训练 8 四边形ABCD的对角线AC BD相交于点O 给出以下题设条件 AB BC CD DA AO BO CO DO AO CO BO DO AC BD AB BC CD DA 其中能判断它是正方形的题设条件是 把正确的序号填在横线上 能力训练 二 选择题 9 在矩形ABCD的各边AB BC CD DA上分别取点E F G H
7、使EFGH为矩形 则这样的矩形 A 仅能作一个B 可以作四个C 一般情况下不可作D 可以作无穷多个 能力训练 10 如图 在矩形ABCD中 AB 4cm AD 12cm P点在AD边上以每秒1cm的速度从A向D运动 点Q在BC边上 以每秒4cm的速度从C点出发 在CB间往返运动 二点同时出发 待P点到达D点为止 在这段时间内 线段PQ有 次平行于AB A 1B 2C 3D 4 能力训练 11 如图 已知矩形纸片ABCD中 AD 9cm AB 3cm 将其折叠 使点D与点B重合 那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是 A 4cm cmB 5cm cmC 4cm cmD 5cm cm 能力训练 1
8、2 给出下面四个命题 对角线相等的四边形是矩形 对角线互相垂直的四边形是菱形 有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形 菱形的对角线的平方和等于边长平方的4倍 其中正确的命题有 A B C D 13 平行四边形四个内角的平分线 如果能围成一个四边形 那么这个四边形一定是 A 矩形B 菱形C 正方形D 等腰梯形 能力训练 三 解答题 14 如图 在矩形ABCD中 F是BC边上一点 AF的延长线交DC的延长线于点G DE AG于E 且DE DC 根据上述条件 请在图中找出一对全等三角形 并证明你的结论 能力训练 15 如图 在 ABC中 ACB 900 CD是AB边上的高 BAC的平分线AE交
9、CD于F EG AB于G 求证 四边形GECF是菱形 能力训练 16 如图 以 ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形 即 ABD BCE ACF 请回答下列问题 不要求证明 1 四边形ADEF是什么四边形 2 当 ABC满足什么条件时 四边形ADEF是矩形 3 当 ABC满足什么条件时 以A D E F为顶点的四边形不存在 能力训练 17 已知正方形ABCD中 M是AB的中点 E是AB延长线上一点 MN DM且交 CBE的平分线于N 1 求证 MD MN 2 若将上述条件中的 M是AB的中点 改为 M是AB上任意一点 其余条件不变 则结论 MD MN 还成立吗 如果成立 请证明
10、如果不成立 请说明理由 能力训练 18 如图 ABCD是正方形 P是对角线上的一点 引PE BC于E PF DC于F 求证 1 AP EF 2 AP EF 能力训练 19 如图 过正方形ABCD的顶点B作BE CA 作AE AC 又CF AE 求证 BCF 1 2 AEB 能力训练 一 填空题 1 180 2 20cm 3 3 4 5 200提示 4题过点P作矩形任一边的垂线 利用勾股定理求解 5题连结AC 证 ABE ACF得AE AF 从而 AEF是等边三角形 6 7 8 参考答案 二 DDBBA三 解答题 14 可证 DEA ABF15 略证 AE平分 BAC 且EG AB EC AC
11、故EG EC 易得 AEC CEF CF EC EG CF 又因EG AB CD AB 故EG CF 四边形GECF是平行四边形 又因EG FG 故GECF是菱形 参考答案 16 1 平行四边形 2 BAC 150 3 当 BAC 60 时 以A D E F为顶点的四边形不存在 17 1 如图1 取AD中点F 连结MF 由MN DM得 DAM 90 易证 1 2 又因 MNB NBE 2 45 2 DMF AFM 1 45 1 所以 DMF MNB 又因DF BM 所以 DMF MNB 故MD MN 参考答案 2 成立 如图2 在AD上取DF MB 则易知 1 900 DMA 又 2 DMA 900 1 2 又 DMF 450 1 MNB 450 2 DMF MNB 又DF MB DMF MNB 故MD MN 18 略证 延长AP与EF相交于点H 连结PC 因为BD是对角线 易证PA PC 1 2 根据PE BC于E PF DC于F 知PECF为矩形 PC EF 且 DAH FPH 又因为 1 2 3 所以在 PHF中 FPH 3 4 1 90 所以 PHF为直角三角形 故AP EF 参考答案 19 提示 证AEFC是菱形 过A点作BE的垂线构造300角的直角三角形 参考答案
