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1、学 海 无 涯2017年高考数学空间几何高考真题一选择题(共9小题)1如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()ABCD2已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()ABCD3在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1DA1EAC4某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A60B30C20D105某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm2)是()A+1B+3C+1D+36
2、如图,已知正四面体DABC(所有棱长均相等的三棱锥),P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点,AP=PB,=2,分别记二面角DPRQ,DPQR,DQRP的平面角为、,则()ABCD7如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A90B63C42D361某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为()A10B12C14D162已知直三棱柱ABCA1B1C1中,ABC=120,AB=2,
3、BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()ABCD二填空题(共5小题)8已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径若平面SCA平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥SABC的体积为9,则球O的表面积为 9长方体的长、宽、高分别为3,2,1,其顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为 10已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 11由一个长方体和两个 圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为 12如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体
4、积为V2,则的值是 三解答题(共9小题)13如图,在四棱锥PABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱锥PABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积14如图,四棱锥PABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90(1)证明:直线BC平面PAD;(2)若PCD面积为2,求四棱锥PABCD的体积15如图四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD(1)证明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与
5、四面体ACDE的体积比16如图,直三棱柱ABCA1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5(1)求三棱柱ABCA1B1C1的体积;(2)设M是BC中点,求直线A1M与平面ABC所成角的大小17如图,在三棱锥PABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点(1)求证:PABD;(2)求证:平面BDE平面PAC;(3)当PA平面BDE时,求三棱锥EBCD的体积18如图,在四棱锥PABCD中,AD平面PDC,ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2()求异面直线AP与BC所成角的余弦值;
6、()求证:PD平面PBC;()求直线AB与平面PBC所成角的正弦值19如图,已知四棱锥PABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点()证明:CE平面PAB;()求直线CE与平面PBC所成角的正弦值20由四棱柱ABCDA1B1C1D1截去三棱锥C1B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD,()证明:A1O平面B1CD1;()设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD121如图,在三棱锥ABCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E、F(
7、E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC3如图,在四棱锥PABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,求二面角APBC的余弦值4如图,四棱锥PABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90,E是PD的中点(1)证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱PC 上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角MABD的余弦值5如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABD=CBD,AB=BD (1)
8、证明:平面ACD平面ABC;(2)过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,求二面角DAEC的余弦值6如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD平面ABCD,点M在线段PB上,PD平面MAC,PA=PD=,AB=4(1)求证:M为PB的中点;(2)求二面角BPDA的大小;(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值7如图,在三棱锥PABC中,PA底面ABC,BAC=90点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2()求证:MN平面BDE;()求二面角CEMN的正弦值;()已知点H在棱PA上,且直线NH
9、与直线BE所成角的余弦值为,求线段AH的长8如图,几何体是圆柱的一部分,它是由矩形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的,G是的中点()设P是上的一点,且APBE,求CBP的大小; ()当AB=3,AD=2时,求二面角EAGC的大小2017年高考数学空间几何高考真题参考答案与试题解析一选择题(共7小题)1如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()ABCD【解答】解:对于选项B,由于ABMQ,结合线面平行判定定理可知B不满足题意;对于选项C,由于ABMQ,结合线面平行判定定理可知C不满
10、足题意;对于选项D,由于ABNQ,结合线面平行判定定理可知D不满足题意;所以选项A满足题意,故选:A2已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()ABCD【解答】解:圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,该圆柱底面圆周半径r=,该圆柱的体积:V=Sh=故选:B3在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1DA1EAC【解答】解:法一:连B1C,由题意得BC1B1C,A1B1平面B1BCC1,且BC1平面B1BCC1,A1B1BC1,A1B1B1C=B1,BC1平面A1ECB
11、1,A1E平面A1ECB1,A1EBC1故选:C法二:以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCDA1B1C1D1中棱长为2,则A1(2,0,2),E(0,1,0),B(2,2,0),D(0,0,0),C1(0,2,2),A(2,0,0),C(0,2,0),=(2,1,2),=(0,2,2),=(2,2,0),=(2,0,2),=(2,2,0),=2,=2,=0,=6,A1EBC1故选:C4某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为()A60B30C20D10【解答】解:由三视图可知:该几何体为三棱锥,该三棱锥的体积=10故选:D5某几何体的三视图如
12、图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm2)是()A+1B+3C+1D+3【解答】解:由几何的三视图可知,该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成,圆锥的底面圆的半径为1,三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形,圆锥的高和棱锥的高相等均为3,故该几何体的体积为123+3=+1,故选:A6如图,已知正四面体DABC(所有棱长均相等的三棱锥),P、Q、R分别为AB、BC、CA上的点,AP=PB,=2,分别记二面角DPRQ,DPQR,DQRP的平面角为、,则()ABCD【解答】解法一:如图所示,建立空间直角坐标系设底面ABC的中心为O不妨设OP=3则O(0,0,0),P(0,3,0),C(0,
13、6,0),D(0,0,6),Q,R,=,=(0,3,6),=(,5,0),=,=设平面PDR的法向量为=(x,y,z),则,可得,可得=,取平面ABC的法向量=(0,0,1)则cos=,取=arccos同理可得:=arccos=arccos解法二:如图所示,连接OP,OQ,OR,过点O分别作垂线:OEPR,OFPQ,OGQR,垂足分别为E,F,G,连接DE,DF,DG设OD=h则tan=同理可得:tan=,tan=由已知可得:OEOGOFtantantan,为锐角故选:B7如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为()A90B63C42D36【解答】解:由三视图可得,直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半,V=3210326=63,故选:B1某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形,该多面体