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1、数 学 百 日 百 题 新 精品文档 收集于网络 如有侵权请联系管理员删除 一题多元 多题一源 纵横联系 类比类推 在数学百日百题中的应用 例题 在平面直角坐标系中 点B与点 A 1 1 关于原点 O对称 P是动点 且直线与的斜率之积为 3 1 求动 P点的轨迹方程 设直线与分别与直线3 交于 M与 N 问 是否存在P点使得 与 的面积 相等 若存在 求出点P的坐标 若不存在 说明理由 1 以一题多元优化思维 求点的坐标 平行成比例 三角形相似 几何方法 点到直线的距离 三角形的面积 直线与直线的交点 直线的方程 代数方法 2 1 2 4 3 2 1 1 从不同的思维出发给出本题 的详细解答过
2、程 方法一 常规解法 推荐人 程娟秀 设点 p 的坐标为 点坐标分别为 3 3 则直线的方程为1 1 直线的方程为1 1 令 3 得 于是 的面积为 多 元 路 径 精品文档 收集于网络 如有侵权请联系管理员删除 3 又直线的方程为02 点 P到直线的距离 于是 的面积为 由 又 0 所以 解得 因为 3 4 所以 故存在点 P使得 与 的面积相等 此时点P的坐标为 解法二 数形结合 推荐人 411B 班白永燚指导教师 张敏 若存在点 P使得 与 的面积相等设点p 的坐标为 则 因为 所以 所以 即 解得 因为 3 4 所以 故存在点 P使得 与 的面积相等 此时点P的坐标为 精品文档 收集于
3、网络 如有侵权请联系管理员删除 以上两种法方中第二种法通过对几何的推理 减少了很多的计 算 属于最优解 2 以多题一源可优化思维 对称 相交 平行 直线关于直线对称 直线关于点对称 点关于直线对称 点关于点对称 4 3 2 1 斜率 双曲线渐近线的斜率 负倒数两直线垂直 斜率互为 两直线平行 斜率相等 两点连线的斜率 4 3 2 1 三角形面积 2 cot 2 tan 2 1 22 1 sin 2 1 sin 2 1 sin 2 1 2 1 2 2 面积双曲线中焦点三角形的 积椭圆中焦点三角形的面 bS bS rcbaS R abc S AbcBacCabS ahS 3 以纵横联系可优化思维
4、每个命题都由对应的关键字或词或义而构成 优化思维就 是要训练从每个命题中学会吸收具有内涵价值的关键字 词 句 义 该题中具有思维价值的关键词是 对称 斜率 面积 同时展开纵横联系 又能达到优化思维的目的 精品文档 收集于网络 如有侵权请联系管理员删除 对称 从数学科展开联系 如 函数的对称与圆锥曲线 的对称两大部分 对于 函数图像的对称 要知 函数图像 的对称 的内涵要义是什么 函数的解析式的变化对对称造成 什么影响了 怎样从函数的解析式观察出函数的图像的对称性 的 函数的对称包含哪两类对称呢 一个是函数图像自身对 称 一个是两个函数图像之间的对称 他们的规律有什么异 同 圆锥曲线的对称 又怎
5、样从方程中得出图像的对称关系 的 从方程中怎样得出对称轴 对称中心 通过 以上比较发现 函数图象的对称具有代表性 典型性 重要 性 我们可以从 关于x 轴 y 轴 原点 等常见的四个维 度进行优化思维 由数学科从 斜率 展开纵横联系 如 通过倾斜角表达 斜率 通过直线的方向向量求斜率 通过点的坐标求斜率 通 过斜率解决三角函数值域等 由以上均可构建对题一源的相关 体系 以达到优化思维的目的 由 面积 展开纵横联系 可以与三角函数发生关系 还 可以与初中的平面几何进行联系 以上均可构建多题一源的相 关体系 以达到优化思维的目的 4 以类比类推可优化思维 理解几何对象的本质特征是实现几何代数化的基
6、础 例 1 过定点 M 任作互相垂直的两条直线 1 l和 2 l 分别与 x 轴 y 轴交于两点 求线段中点 P的轨迹方程 精品文档 收集于网络 如有侵权请联系管理员删除 分析 1 利用 21 ll 0MAMB 设 yxP 则 2 0 0 2 baMyBxA 分析 2 连结 由 21 ll ABM为直角三角形 2 1 ABPM 分析 3 点四点共圆 PMOP 2222 byaxyx 由分析 1 分析 2 分析 3 就可以看出当把几何对象的 本质特征挖掘出来时 如分析3 计算量就明显减少 提高 了准确率 例 2 若直线 20laxy与连接点 A 2 3 和点 3 2 B的线段有公 共点 求a的取值范围 几何特征 两点必在直线02 yaxl两侧或其中一点在此 直线上 代数化 232 322 0aa 解得 4 3 a 或 5 2 a 例 1 例 2 因此解析几何代数化的核心在于几何与代数在坐标系下 的互译 由几何对象的代数表征来解读几何对象的特征 属性 由几何对象的几何特征属性合理选择其代数表征
