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1、第二章 方程 组 与不等式 组 方程组 考点清单 考点一 二元一次方程组 二元一次方程 含有两个未知数 且含有未知数的项的次 数都是 的整式方程 二元一次方程组 把具有相同的未知数的两个 二元一 次方程 合在一起 二元一次方程组的解法 代入消元法 从方程组中任选一个方程 将方程中的一个未知数用含 有 另一个未知数 的代数式表示 将这个代数式代入另一个方程 消去一个未知数 得到含 有另一个未知数的一元一次方程 解这个一元一次方程 求出未知数的值 将所求得的这个未知数的值代入原方程组的任一方程 中 求出 另一个未知数 的值 从而得到方程组的解 加减消元法 方程组的两个方程中 如果同一个未知数的系数
2、既不相 等又不互为相反数 就用适当的数去乘方程的两边 使它们中的 一个未知数的系数相等或 互为相反数 把两个方程的两边分别相加或相减 消去任意一个未知 数 得到一个 一元一次方程 解这个一元一次方程 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程 求 出 另一个未知数 的值 从而得到方程组的解 考点二 二元一次方程组的应用 列二元一次方程组解应用题的步骤 审 设 列 解 验 答 二元二次方程组 含有两个未知数且含有未知数的项的最高次数是 的整式 方程 叫做二元二次方程 由一个二元一次方程和一个二元二次 方程组成的方程组 或由两个二元二次方程组成的方程组 叫做 二元二次方程组 我们解一下简单的二元
3、二次方程组 分析 由于方程 是二元一次方程 故可由方程 得 代入方程 消去 解析 由 得 将 代入 得 解得 把 代入 得 把 代入 得 原方程组的解是 或 我们发现 二元二次方程组的解法还是离不开代入 消元 转化 方法一 二元一次方程的解的讨论 二元一次方程的解有无数组 但在限定条件下 往往可以求出 其整数解 求二元一次方程的整数解 在问题不是特别复杂的条件 下 可以采用枚举法 即将其中一个未知数可以取的整数一一列出 来 求出对应的另一个未知数的值 并找出符合题意的整数解 例 为推进课改 王老师把班级里 名学生分成若干小 组 每小组只能是 人或 人 则有 种分组方案 解析 设 人一组的有 个
4、 人一组的有 个 根据题 意可得 当 时 不合题意 当 时 当 时 不合题意 当 时 不合题意 当 时 不合题意 当 时 不合题意 当 时 不合题意 当 时 故有 种分组方案 答案 思路分析 根据题意设 人一组的有 个 人一组的有 个 利用把班级里 名学生分成若干小组 进而得出等式求出 满足题意要求的整数解即可 变式训练 黑龙江齐齐哈尔 分 为了开展阳光 体育活动 某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品 共花费 元 毽子单价 元 跳绳单价 元 购买方案有 种 种 种 种 答案 解析 设购买 个毽子和 根跳绳 则 不定方 程的整数解的组数 即为购买方案种数 当 时 当 时 故有 种购买方案 故选 年
5、中考 年模拟 方法二 二元一次方程组的解法 解二元一次方程组的方法是消元 把它转化为一元一次方 程 具体消元的方法有加减消元法和代入消元法 当同一个未知 数的系数相等或者互为相反数时 直接选择加减消元法 当同一 个未知数的系数为 或者 时 可以考虑用代入消元法 例 江苏镇江 分 解方程组 解析 解法一 得 解得 把 代入 得 原方程组的解为 解法二 由 得 把 代入 得 把 代入 得 原方程组的解为 思路分析 解法一 运用加减消元法将方程组转化为一元一 次方程 解法二 运用代入消元法将方程组转化为一元一次方程 方法三 用二元一次方程组解决实际问题 对于应用题 一般来说 有几个未知数 就应找出几
6、个等量 关系 从而列出几个方程 即未知数的个数应与方程组中方程的 个数相等 例 湖南张家界 分 某校组织 大手拉小手 义卖献爱心 活动 购买了黑白两种颜色的文化衫共 件 进 行手绘设计后出售 所获得利润全部捐给山区困难孩子 每件文 化衫的批发价和零售价如下表 批发价 元 零售价 元 黑色文化衫 白色文化衫 假设文化衫全部售出 共获利 元 求黑白两种文化衫 各多少件 解析 设黑色文化衫 件 白色文化衫 件 根据题意 得 解得 答 黑色文化衫 件 白色文化衫 件 思路分析 设黑色文化衫 件 白色文化衫 件 依据黑 白两种颜色的文化衫共 件 文化衫全部售出共获利 元 列二元一次方程组进行求解 一题多
7、解 用方程组解决的实际问题 基本上都能用列 一元一次方程来解决 本题设黑色文化衫 件 则白色文化衫 件 根据题意也能列出方程解决 变式训练 聊城 分 建设中的大外环路是我 市的一项重点民生工程 某工程公司承建的一段路基工程的施工 土方量为 万立方 原计划由公司的甲 乙两个工程队从公路 的两端同时相向施工 天完成 由于特殊情况需要 公司抽调 甲队外援施工 由乙队先单独施工 天后甲队返回 两队又共 同施工了 天 这时甲乙两队共完成土方量 万立方 问甲 乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少 万立方 在抽调甲队外援施工的情况下 为了保证 天完成任 务 公司为乙队新购进了一批机械来提高效率 那么乙队平均每 天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完 成任务 解析 设甲队原计划平均每天的施工土方量为 万立 方 乙队原计划平均每天的施工土方量为 万立方 根据题意得 解方程组 得 答 甲 乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为 万立方 万立方 设乙队平均每天的施工土方量要比原来提高 万立方 根据题意 得 解不等式 得 答 乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高 万 立方才能保证按时完成任务 思路分析 列二元一次方程组解决问题 设乙队 平均每天的施工土方量要比原来提高 万立方 根据 提高后甲 乙两队每天完成土方量 列不等式求解
