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1、模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 学习目标1 能够对梁在荷载作用下进行扰度和刚度的计算2 能够对简单图形的几何性质问题进行计算知识点受弯构件的慨念 内力方程 内力图 截面的几何性质 挠度 刚度 素质教育目标培养学生严谨细致的良好学习习惯和科学的工作态度 具有团队合作精神 教学方法项目教学 任务驱动 引导教学法 六步法 案例教学 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 任务 梁的内力图及梁的强度计算 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 6 1 1梁当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用 下图6 1 时 杆轴由直线弯成曲线 这种变形称为弯曲 以弯曲变形为主的杆件称为梁 工程中
2、梁是典型的受弯构件 图6 1 6 1受弯构件 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 工程中常见的梁 其横截面往往有一根对称轴 这根对称轴与梁轴线所组成的平面 称为纵向对称平面 见下图 如果作用在梁上的外力 包括荷载和支座反力 和外力偶都位于纵向对称平面内 梁变形后 轴线将在此纵向对称平面内弯曲 这种梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲 称为平面弯曲 图6 2 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 6 1 2单跨静定梁的几种形式工程中对于单跨静定梁按其支座情况分为下列三种形式 1 悬臂梁梁的一端为固定端 另一端为自由端 图6 3a 2 简支梁梁的一端为固定铰支座 另一端为可动铰支座 图6 3b
3、 3 外伸梁梁的一端或两端伸出支座的简支梁 图6 3c 图6 3 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 为了计算梁的强度和刚度问题 在求得梁的支座反力后 就必须计算梁的内力 下面将着重讨论梁的内力的计算方法 6 2 1梁的内力 剪力和弯矩下图6 4 a 所示为一简支梁 荷载F和支座反力RA RB是作用在梁的纵向对称平面内的平衡力系 现用截面法分析任一截面m m上的内力 假想将梁沿优m一m截面分为两段 现取左段为研究对象 从图6 4 b 可见 因有支座反力RA作用 为使左段满足 y O 截面m m上必然有与RA等值 平行且反向的内力Q存在 这个内力Q 称为剪力 同时 因RA对截面m m的形心o点
4、有一个力矩RA a的作用 截面m m上必然有一个与力矩RA a大小相等且转向相反的内力偶矩M存在 这个内力偶矩M称为弯矩 由此可见 梁发生弯曲时 横截面上同时存在着两个内力素 即剪力和弯矩 6 2梁的内力 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 a b c 剪力的常用单位为N或kN 弯矩的常用单位为N m或kN m 剪力和弯矩的大小 可由左段梁的静力平衡方程求得 即 得 得 如果取右段梁作为研究对象 同样可求得截面m m上的Q和M 根据作用与反作用力的关系 它们与从右段梁求出m m截面上的Q和M大小相等 方向相反 图6 4 c 图所示 图6 4 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 6 2 2剪
5、力和弯矩的正 负号规定为了使从左 右两段梁求得同一截面上的剪力Q和弯矩M具有相同的正负号 并考虑到土建工程上的习惯要求 对剪力和弯矩的正负号特作如下规定 1 剪力的正负号使梁段有顺时针转动趋势的剪力为正 反之为负 图6 5a b 图6 5 2 使梁段产生下侧受拉的弯矩为正 反之为负 下图a b 图6 6 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 6 2 3用截面法计算指定截面上的剪力和弯矩用截面法求指定截面上的剪力和弯矩的步骤如下 1 计算支座反力 2 用假想的截面在需求内力处将梁截成两段 取其中任一段为研究对象 3 画出研究对象的受力图 截面上的Q和M都先假设为正的方向 4 建立平衡方程 解出内
6、力 例6 1 简支梁如图6 7所示 已知F1 30kN F2 30kN 试求截面1 1上的剪力和弯矩 a b c 图6 7 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 解 1 求支座反力 考虑梁的整体平衡 2 求截面1 1上的内力在截面1 1处将梁截开 取左段梁为研究对象 画出其受力图 内力Q1和M1均先假设为正方向 图6 7b 列平衡方程 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 求得Q1和M1均为正值 表示截面1 1上内力的实际方向与假设的方向相同 按内力的符号规定 剪力 弯矩都是正的 所以 画受力图时一定要先假设内力为正的方向 由平衡方程求得结果的正负号 就能直接代表内力本身的正负 如果取1 1截
7、面右段梁为研究对象 图6 7c 可得出同样的结果 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 6 3梁的内力图绘制 1 剪力方程和弯矩方程 V V x M M x 梁的剪力方程 梁的弯矩方程 由前面的知识可知 梁的剪力和弯矩是随截面位置变化而变化的 如果将x轴建立在梁的轴线上 原点建立在梁左端 x表示截面位置 则V和M就随x的变化而变化 V和M就是x的函授 这个函授式就叫剪力方程和弯矩方程 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 2 剪力图和弯矩图 以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标 以垂直于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标 分别绘制表示V x 和M x 的图线 这种图线分别称为剪力图和弯矩图 简称V图和
8、M图 绘图时一般规定正号的剪力画在x轴的上侧 负号的剪力画在x轴的下侧 正弯矩画在x轴下侧 负弯矩画在x轴上侧 即把弯矩画在梁受拉的一侧 画剪力图和弯矩图时 一定要将梁正确分段 分段建立方程 依方程而作图 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 例6 2 简支梁受均布荷载作用 如图示 作此梁的剪力图和弯矩图 解 1 求约束反力由对称关系 可得 2 建立内力方程 3 依方程作剪力图和弯矩图 Vmax Mmax 0 x l 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 例6 3 简支梁受集中荷载作用 如图示 作此梁的剪力图和弯矩图 1 求约束反力 2 分段建立方程 AC段 CB段 3 依方程而作图 模块三
9、单元6弯曲变形时的承载力计算 例6 4 简支梁受集中力偶作用 如图示 试画梁的剪力图和弯矩图 解 1 求约束反力 2 列剪应力方程和弯矩方程 AC段 CB段 3 依方程而作图 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 小结 荷载图 剪力图 弯矩图的规律 在无荷载作用的梁段 剪力图为水平线 弯矩图为斜直线 斜率的大小等于对应梁段上剪力的大小 V 0时向右下方斜斜 V0向上凸 遇到集中荷载 剪力图突变 突变方向与集中荷载方向相同 突变大小等于集中荷载的大小 弯矩图出现转折 转折方向与集中力的方向相反 遇到集中力偶 剪力图不变 弯矩图突变 突变方向由力偶的转向决定 逆上顺下 突变大小等于力偶矩的大小 极
10、值弯矩 集中力作用截面 集中力偶截面或弯矩为零的截面 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 上述规律的应用 1 可以检查剪力图和弯矩图是否正确 2 可以快速的绘制剪力图和弯矩图 步骤如下 1 将梁正确分段 2 根据各段梁上的荷载情况 判断剪力图和弯矩图的形状 3 寻找控制面 算出各控制面的V和M 4 逐段绘制出V和M图即梁的V和M图 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 快速绘制剪力图和弯矩图 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 kN kNm kN kNm 5 3 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 4 5 1 5 5 5 kN kNm 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 例6 5 外伸
11、梁AB承受荷载如图所示 作该梁的内力图 解 1 求支反力 2 判断各段V M图形状 CA和DB段 q 0 V图为水平线 M图为斜直线 AD段 q 0 V图为向下斜直线 M图为下凸抛物线 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 6 4截面的几何性质 6 4 1截面的静矩和形心位置 设任意形状截面如图所示 1 静矩 或一次矩 常用单位 m3或mm3值 可为正 负或0 2 形心坐标公式 可由均质等厚薄板的重心坐标而得 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 3 静矩与形心坐标的关系 结论 截面对形心轴的静矩恒为0 反之 亦然 4 组合截面的静矩 由静矩的定义知 整个截面对某轴的静矩应等于它的各组成部分对
12、同一轴的静矩的代数和 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 5 组合截面的形心坐标公式 将 代入 解得组合截面的形心坐标公式为 注 被 减去 部分图形的面积应代入负值 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 例6 6 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩 解 取平行于x轴的狭条 所以对x轴的静矩为 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 例6 7 试计算图示截面形心C的位置 解 将截面分为1 2两个矩形 建立坐标系如图示 各矩形的面积和形心坐标如下 矩形I 矩形II 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 代入组合截面的形心坐标公式 解得 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 6 4 2
13、极惯性矩 惯性矩 惯性积 设任意形状截面如图所示 1 极惯性矩 或截面二次极矩 2 惯性矩 或截面二次轴矩 为正值 单位m4或mm4 所以 即截面对一点的极惯性矩 等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 3 惯性积 其值可为正 负或0 单位 m4或mm4 截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为0 结论 4 惯性半径 单位m或mm 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 例6 8 试计算图a所示矩形截面对于其对称轴 即形心轴 x和y的惯性矩 解 取平行于x轴的狭长条 则dA bdy 同理 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 若截面是高度为
14、h的平行四边形 图b 则其对形心轴x的惯性矩同样为 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 例6 9 试计算图示圆截面对于其形心轴 即直径轴 的惯性矩 解 由于圆截面有极对称性 所以 所以 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 6 4 3惯性矩和惯性积的平行移轴公式 1 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 设有面积为A的任意形状的截面 C为其形心 Cxcyc为形心坐标系 与该形心坐标轴分别平行的任意坐标系为Oxy 形心C在在Oxy坐标系下的坐标为 a b 任意微面元dA在两坐标系下的坐标关系为 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 同理 有 此为平行移轴公式 注意 式中的a b代表坐标值 有时可能取负
15、值 等号右边各首项为相对于形心轴的量 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 2 组合截面的惯性矩和惯性积 根据惯性矩和惯性积的定义易得组合截面对于某轴的惯性矩 或惯性积 等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩 或惯性积 之和 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 例6 10 试计算组合截面的Ixc 解 1 求截面形心位置 2 求个简单截面对形心轴的惯性矩 3 求整个截面的惯性矩 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 由于梁横截面上有剪力和弯矩 所以它们在梁的横截面上会引起相应的剪应力和正应力 6 5梁弯曲时的应力及强度计算 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 1 变形前互相平行的纵向直线 变形后
16、变成弧线 且凹边纤维缩短 凸边纤维伸长 2 变形前垂直于纵向线的横向线 变形后仍为直线 且仍与弯曲了的纵向线正交 但两条横向线间相对转动了一个角度 中性轴 中性层与横截面的交线称为中性轴 平面假设 变形前杆件的横截面变形后仍为平面 6 5 1梁横截面上正应力 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 MZ 横截面上的弯矩 y 到中性轴的距离 IZ 截面对中性轴的惯性矩 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 例6 10 长为l的矩形截面悬臂梁 在自由端作用一集中力F 已知b 120mm h 180mm l 2m F 1 6kN 试求B截面上a b c各点的正应力 压 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 例6 11 试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力 并加以比较 竖放 横放 模块三 单元6弯曲变形时的承载力计算 例6 11 图示T形截面简支梁在中点承受集中力F 32kN 梁的长度L 2m T形截面的形心坐标yc 96 4mm 横截面对于z轴的惯性矩Iz 1 02 108mm4 求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力 模块三 单元6弯曲变
