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1、茶杯盖能掉入杯体内吗？苹果受到地球的引力能从树上落到地面，是常见的现象.茶杯盖盖在茶杯上，会不会掉入杯内呢？面积大的纸片一定能裁出一块面积小的纸片吗？也许认为这太得简单了，不值得思考，其实这正是数学要研究的问题，历史上许多数学家也正是从思考这类问题，使思想得到发展.题目 小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2,不知能否裁出来,正在发愁,小明见了说:“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求纸片吗？简解：设长方形纸片的长为3xcm，宽为2xcm则3x2x
2、=300 x2=50 x=因此，长方形纸片长为3cm，因为5049，所以7，321由上述可知321,即长方形纸片应该大于21cm，已知正方形纸片边长只有20cm,这样长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长,所以不同意小明的说法,小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片.赏析 上述问题的突出特点是有新意.题目呈现形式新.回避了其他题目的那种用刻版数学语言叙述题设,结论的作法,采用小丽与小明的对话形式引出了“可能”与“不可能”两种观点,让读者思考、探究、实际是开放性的题型.题目解法思路新.此题不仅把生活中的问题归纳为方程模型，而且运用新知识算术平方根去求二次方程根，同时由5049转化为7，再
3、转化为321,采用新举措，比较了321.从而说明要裁的长方形不存在.挖掘1.此例题彰显了丰富的数学思想:把几何中的长方形与代数中方程联系在一起,展示了数形结合思想;虚拟存在的长方形,求出其边,再与原正方形边比较,否定虚拟的长方形,实则是探究与建模数学思想;由四边形边比为3:2,设边长的3xcm、2xcm以及由5049得出7、321显然是转化的数学思想;本例略加引申,分类讨论数学思想亦含其中.2.此例略加变式可拓展思维.解法变式:因为正方形面积为400cm2,所以边长为20cm.又因为裁出长方形两边比为3:2,所以长为20cm,宽为cm,能裁出最大长方形面积为.即不能载出满足条件长方形.条件与结论变式:小丽能否用一块面积为400cm2正方形纸片,沿着边的方向裁出面积为200cm2的长方形, 同时使长宽比为3:1或3:3呢?模式变式:数学家华罗庚,1946年在南京师范大学附属中学举了一个十分有趣问题给大家:“苹果能从树上落到地面，为什么茶杯盖不会掉入茶杯里呢？”也许学生认为这很简单“盖子比杯口大，当然掉不进去” 盖子比口大,是不是掉不进去呢？可以从不同角度去讨论得出盖子比口大，可以掉进去（如杯子口作成正方形等）.这正与上述例题面积大纸片不一定能裁出面积小的纸片是一类问题.2
