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1、二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质例1 函数与在同一坐标系中的图象可能是如图中的（ ）例2 已知函数.（1）求函数图象的顶点坐标和对称轴；（2）求函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）作出函数的图象.例3 求经过A(0，-1)、B(-1，2)，C(1，-2)三点且对称轴平行于y轴的抛物线的解析式例4 已知抛物线经过点(-1，1)和点(2，1)且与x轴相切(1)求二次函数的解析式；(2)当x在什么范围时，y随x的增大而增大；(3)当x在什么范围时，y随x的增大而减小例5 设抛物线y=x2+bx+c向下平移1个单位，再向左平移5个单位后，所得抛物线的顶点坐标为(-2，0)，求原抛物线的解析式例6
2、 (辽宁省试题) 看图，解答下列问题（1）求经过A、B、C三点的抛物线解析式；（2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象参考答案例1 解法一：直接法，a的取值只有两种可能：或.当时，有的图象在第一、三象限；的图象开口向上，顶点在x轴的上方，四个选择支无一适合.所以，没有符合条件的图象.当时，有的图象在第二、四象限；的图象开口向下，顶点在x轴的下方，符合条件的图象有D.故应选D.解法二：排除法，函数的图象顶点在y轴上，故排除A；对于B，由反比例函数的图象可知：，但由的图象得，产生矛盾，故B排除；对于C，由反比例函数的图象可知：，但由的图象与y轴交于负半
3、轴得，产生矛盾，故C排除.故答案应选D.例2 解：（1）.函数图象的顶点坐标是（1，2），对称轴为.（2）令，得；令，由，得.即函数图象与y轴交于点，与x轴交于（1，0），（3，0）.（3），抛物线开口向下，再依顶点坐标，对称轴及两坐标的交点坐标作函数图象如图所示.说明：（1）对的顶点坐标也可直接用教材中例题所给出的顶点坐标公式，这里是直接配方而得.（2）作二次函数的图象主要抓住抛物线开口方向、顶点坐标、对称轴及两轴的交点等主要环节.例3 分析：因为抛物线的对称轴与y轴平行，所以抛物线解析式的形式可设为y=ax2+bx+c，要确定这个解析式必须求出三个系数a、b、c的值已知A、B、C三点在抛物
4、线上，因此它们的坐标必须适合上面的函数式，即有这是关于a、b、c的三元一次方程组，可以求出a、b、c的值来解：设所求抛物线的解析式为y=ax2bxc，因为抛物线经过A、B、C三点，所以有所以，所求抛物线的解析式为y=x2-2x-1例4 分析：因为抛物线与x轴相切即与x轴只有一个交点，所以判别式b2-4ac=0又由于抛物线过(-1，1)和(2，1)点，所以可设解析式的形式为y=ax2bxc，列出方程组解方程组求出a、b、c方法二：由于抛物线经过的两点（-1，1）和（2，1）的纵坐标都是1，又根据抛物线的对称性知道对称轴，画出草图：可得顶点坐标系，可以设解析式为将x=-1，y=1代入上式得出a值(
5、可由教师板演，学生在练习本上写出解题过程)解：（1） 顶点坐标， 将代入此式1=，得所求解析式为（2），图象开口向上当时，随的增大而增大（3）当时，随的增大而减小例5 解：由题意知两次平移后所得抛物线的解析式应为：y=(x+5)2+b(x+5)+c-1 =x2+(b+10)x+(5b+c+24)0=(-2)2+(b+10)(-2)+(5b+c+24)解之得b=-6，c=10原抛物线的解析式为y=x2-6x+10说明：关于二次函数图象的平移是很重要的：一是上、下平移，如将y=ax2+bx+c的图象上移h个单位，则新图象的解析式为y=ax2+bx+c+h(如下移则改为-h)二是左右平移，如将y=ax2+bx+c的图象向左移k个单位，则新图象解析式应改写为：y=a(x+k)2+b(x+k)+c，如果是向右平移k个单位，则改写为y=a(x-k)2+b(x-k)+c分析：已知三点求抛物线的解析式，用待定系数法求解，先设出抛物线的解析式（一般式），然后把三点坐标代入解析式，列出一个关于三个未知数的方程组，求解即可例6 解：（1）由图可知设所求抛物线的解析式为依题意，得 解得（2）顶点坐标为，对称轴为（3）图象略，画出正确图象说明：求二次函数解析式的问题，通常用待定系数法求解首先要根据题目已知条件，选择抛物线解析式的适当形式，然后列出方程组求解
