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1、第12课时二次函数的概念、图像及其性质(1)姓名 班级 学号 学习目标:1.掌握二次函数的定义、图像和性质2.会用二次函数的图像性质在研究函数最值和增减性3.进一步体会数形结合,分类讨论,函数与方程等数学思想在解题中的作用学习重难点:二次函数最值和单调性,二次函数的最值和增减性的应用学习过程:一、知识梳理1.二次函数:一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:一般式:_(a0,a、b、c为常数),则称y为x的二次函数。2.二次函数的解析式三种形式。一般式:y=ax2 +bx+c(a0);顶点式:_;交点式: _ _3.二次函数图像与性质二次函数y=ax2 +bx+c(a0)的对称轴是_;顶点
2、坐标是_;与y轴交点坐标_4.增减性:当a0时,对称轴左边,y随x增大而_;对称轴右边,y随x增大而_ 当a0时,对称轴左边,y随x增大而_;对称轴右边,y随x增大而_5.二次函数图像画法:勾画草图关键点:开口方向 对称轴 顶点 与x轴交点 与y轴交点6.图像平移步骤:(1)配方,确定顶点(h,k);(2)沿x轴:左_右_;沿y轴:上_下_7.用待定系数法求二次函数解析式的三种方法(1)一般式:已知抛物线上的三点,通常设解析式为_(2)顶点式:已知抛物线顶点坐标(h, k),通常设抛物线解析式为_求出表达式后化为一般形式.(3)交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0)、 (x2,0),
3、通常设解析式为_求出表达式后化为一般形式.二、典型例题1.二次函数的定义问题1 (1)下列函数中,y关于x的二次函数是()Ay=ax2+bx+cBy=x(x1)Cy=Dy=(x1)2x2(2)已知y=(m1)x是关于x的二次函数,求m的值(3)已知函数y=(m2m)x2+(m1)x+22m若这个函数是二次函数,求m的取值范围若这个函数是一次函数,求m的值这个函数可能是正比例函数吗?为什么?2.二次函数的图像与性质问题2(1)二次函数y=(x2)2+7的顶点坐标是()A(2,7)B(2,7)C(2,7)D(2,7)(2)对于抛物线y=(x+2)2+3,下列结论中正确结论的个数为()抛物线的开口向
4、下; 对称轴是直线x=2;图象不经过第一象限; 当x2时,y随x的增大而减小A4B3C2D1(3)在同一平面直角坐标系中,函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx+c的图象可能为()ABCD(4)已知抛物线y=x23x(1)求其开口方向、对称轴和顶点坐标;(2)x取何值时,y随x的增大而减小?3.二次函数的平移问题3(1)已知抛物线,将抛物线c平移得到抛物线c,如果两条抛物线,关于直线x=1对称,那么下列说法正确的是()A将c沿x轴向右平移个单位得到c B将c沿x轴向右平移4个单位得到cC将c沿x轴向右平移个单位得到c D将c沿x轴向右平移6个单位得到c(2)将抛物线y=(x+m)2向右平移
5、2个单位后,对称轴是y轴,那么m的值是 (3)已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线都相同,顶点与抛物线相同求这条抛物线的解析式;将上面的抛物线向右平移4个单位会得到怎样的抛物线解析式?若(2)中所求抛物线的顶点不动,将抛物线的开口反向,求符合此条件的抛物线解析式4.二次函数的最值问题4 (1)抛物线y=(x+1)2+3有()A最大值3B最小值3C最大值3D最小值3(2)二次函数y=x22x+c在3x2的范围内有最小值5,则c的值是()A6B2C2D3(3)已知关于x的函数y=kx2+(2k1)x2(k为常数)试说明:不论k取什么值,此函数图象一定经过(2,0);在x0时,若要使y随x的增大而
6、减小,求k的取值范围;试问该函数是否存在最小值3?若存在,请求出此时k的值;若不存在,请说明理由5.用待定系数法求二次函数的解析式问题1.(1)已知二次函数的图象经过A(2,0)、B(0,-6)两点,求二次函数的表达式.(2)已知抛物线的顶点坐标是(3,),且经过点(,1),求二次函数的表达式.问题2.(1)已知抛物线经过点(4,2),当时,随的增大而减小,当时,随的增大而增大,且顶点到轴的距离为4,求二次函数的解析式.(2)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,且点A(0,2),点C(1,0),如图所示:抛物线经过点B求抛物线的解析式三、中考预测1.
7、 (2017金华)对于二次函数y=(x1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是()A对称轴是直线x=1,最小值是2 B对称轴是直线x=1,最大值是2C对称轴是直线x=1,最小值是2 D对称轴是直线x=1,最大值是22.(2017台湾)已知坐标平面上有两个二次函数y=a(x+1)(x7),y=b(x+1)(x15)的图形,其中a、b为整数判断将二次函数y=b(x+1)(x15)的图形依下列哪一种方式平移后,会使得此两图形的对称轴重叠()A向左平移4单位B向右平移4单位 C向左平移8单位D向右平移8单位四、反思总结1.本节课你复习了哪些内容?2.本节课中你觉得还有哪些不足?五、达标检测1下列函数关
8、系中,是二次函数的是()A在弹性限度内,弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B当距离一定时,火车行驶的时间t与速度v之间的关系C等边三角形的周长C与边长a之间的关系D圆心角为120的扇形面积S与半径R之间的关系2将函数y=x2的图象用下列方法平移后,所得的图象不经过点A(1,4)的方法是()A向左平移1个单位B向右平移3个单位 C向上平移3个单位D向下平移1个单位3在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列说法正确的是()Aabc0,b24ac0Babc0,b24ac0 Cabc0,b24ac0Dabc0,b24ac04抛物线y=x24x+3的顶点坐标为 5二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0)的图象如图所示,下列结论:abc0;2a+b0;b24ac=0;8a+c0;a:b:c=1:2:3,其中正确的结论有 6已知二次函数y=ax24ax+3a(1)该二次函数图象的对称轴是x= ;(2)若该二次函数的图象开口向下,当1x4时,y的最大值是2,求当1x4时,y的最小值;(3)若对于该抛物线上的两点P(x1,y1),Q(x2,y2),当tx1t+1,x25时,均满足y1y2,请结合图象,直接写出t的最大值5