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1、例题分析：几何证明选讲例1 如图，在ABC中，BAC90，E为AC中点，ADBC于D，DE交BA的延长线于F求证：BFDFABAC【分析】欲证，虽然四条线段可分配于ABC和DFB中，由于ABC和FBD一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，故需借助中间比牵线搭桥，易证RtBACRtBDA，得出，于是只需证出，进而须证DFBAFD即可证明：ABAC，ADBC，RtABDRtCAD，DACB，又ADBC，E为AC中点，DEAE，DAEADE，BADE，又FF，FADFDB，由得【说明】由于ABC和FBD这两个三角形一个是直角三角形，一个是钝角三角形，明显
2、不相似，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，且图中又没有相等的线段来代换，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧此题用到直角三角形中斜边上的高这个“双垂直”的基本图形，这里有三对相似三角形，这个图形在证相似三角形中非常重要例2 ABC中，A60，BD，CE是两条高，求证：【分析】欲证，只须证由已知易得，于是只须证明进而想到证明ADEABC，这可以由证得证明：A60，BD，CE是两条高，ABDACE30，又AAADEABC，.【说明】在判定相似三角形时，应特别注意应用“两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似”这条判定定理例3 已知：如图，
3、ABC中，ADBC于D，CEAB于E，AD、EC交于F，求证【分析】CD、FD在FDC中，AD、BD在BDA中，所以证FDC与BDA相似便可以得到结论证明：ADBC于D，CEAB于E，ADCADB90，BADB90，BCEB90，BADBCE，FDCBDA，【说明】为什么找到FDC与BDA相似呢?从求证的比例式出发，“竖看”，线段CD、AD在ADC中，但线段FD、BD却不在一个三角形中；那么“横瞧”，CD、FD在FDC，AD、BD在BDA中，所以证FDC与BDA相似便可以得到结论小结为“横瞧竖看分配相似三角形”例4 如图，平行四边形ABCD，DEAB于E，DFBC于F，求证：ABDEBCDF【
4、分析】化求证的等积式为比例式：，又因为CDAB，ADBC，即证明比例式证明：平行四边形ABCD，CA，DEAB于E，DFBC于F，AEDDFC90，CFDAED，CDAB，ADBC，即ABDEBCDF【说明】，“横瞧竖看”都不能分配在两个三角形中，但题中有相等的线段：CDAB，ADBC所以可横瞧竖看用相等线段代换过来的比例式：，这个比例式中的四条线段可分配在两个相似三角形中例5 AB是O的直径，点C在O上，BAC60，P是OB上一点，过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q，连结OC，过点C作CDOC交PQ于点D(1)求证：CDQ是等腰三角形；(2)如果CDQCOB，求BPPO的值【分析】证明C
5、DQ是等腰三角形，只需证明DCQQ，利用题目中已有的相似三角形和等腰三角形把这两个角的关系建立起来并可以得到各边的比例关系，不妨把圆的半径设为1，简化计算(1)证明：由已知得ACB90，ABC30，Q30，BCOABC30CDOC，DCQBCO30，DCQQ，CDQ是等腰三角形(2)解：设O的半径为1，则AB2，OC1，等腰三角形CDQ与等腰三角形COB全等，CQBC，【说明】利用好相似三角形对应角相等的条件，进行角的转化是解题中常用的技巧例6 ABC内接于圆O，BAC的平分线交O于D点，交O的切线BE于F，连结BD，CD 求证：(1)BD平分CBE；(2)ABBFAFDC【分析】可根据同弧所
6、对的圆周角及弦切角的关系推出由条件及(1)的结论，可知BDCD，因此欲求ABBFAFDC，可求，因此只须求ABFBDF即可证明：(1)CADBADFBD，CADCBD，CBDFBD，BD平分CBE(2)在DBF与BAF中，FBDFAB，FF，ABFBDF，ABBFBDAF又BDCD，ABBFCDAF例7 O以等腰三角形ABC一腰AB为直径，它交另一腰AC于E，交BC于D求证：BC2DE【分析】由等腰三角形的性质可得BC，由圆内接四边形性质可得BDEC，所以CDEC，所以DECD，连结AD，可得ADBC，利用等腰三角形“三线合一”性质得BC2CD，即BC2DE证明：连结AD AB是O直径 ADBCABAC BC2CD，BCO内接四边形ABDEBDEC(四点共圆的一个内角等于对角的外角)CDEC DEDCBC2DE例8 O内两弦AB，CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F，作切线FG，G为切点，求证：EFFG【分析】由于FG切圆O于G，则有FG2FBFC，因此，只要证明FE2FBFC成立即可证明：在BFE与EFC中有BEFAC，又 BFEEFC，BFEEFC，FE2FBFC又FG2FBFC，FE2FG2， FEFG6
