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1、分式方程的“增根”与“无解”学习了解分式方程以后，我们便知道了“增根”的知识，不少同学对“增根”与“无解”混为一谈，甚至根本无法理解，为了说明这两个概念，现帮助同学们重新定位.一、增根的概念将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根.如，若方程+3有增根，则这个增根一定是x2.二、分式方程增根产生的原因在解分式方程的关键是要将分式方程转化为整式方程，而转化的关键又是去分母，由于对原分式方程的解来说，它必须使分式方程中各分式分母的值不为零，而对约去分母后得到的整式方程来说，却不要求分母的值非零，因为整式方
2、程中各分母都是已知数，零不能作分母，当所得到的整式方程的某一根使原分式方程中至少有一个分式的分母为零时，即这个分母实际上是去分母时最简公分母的一个因式，那么最简公分母(整式)的值为零，即去分母过程中就相当于在方程两边同时乘以了0，不符合等式性质的要求，所以这个整式方程的根不适合原分式方程，它就是增根，因而，解分式方程时，必须要检验.三、无解的概念分式方程无解有两种情形：一是将原分式方程两边都乘以最简公分母，约去分母得到整理后的整式方程为axb，此时若a0，而b0，则此整式方程无解，即原分式方程无解；二是化分式方程为整式方程，此整式方程的解是原分式方程增根，此时分式方程无解.如，若关于x方程10
3、无解，试求a的值.将原方程去分母转化为(a1)x+20，即(a1)x2.此时，一方面，当a10，即a1时，此时整式方程无解，所以当a1时，原方程无解.另一方面，对于方程(a1)x+20，当x1时，原方程无解.所以当(a1)1+20，即a1时，原方程无解.所以 a的值为1或1.在解本题时，注意考虑问题要全面，不要只考虑当原分式方程有增根时的情形，而忽略了当整式方程无解时，原分式方程也无解.另外，方程的无解和增根的具体区别与联系，我们以后还将进一步学习和运用.四、分式方程有增根与无解的关系不仔细推敲，会认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此.分式方程有增根，指的是解分分式方程求出的根是原分式方程变形后所得整式方程的根，但不是原分式方程的根，即这个根使最简公分母为0.如，解分式方程3，可得x2，把x2代入(2x)，得2x0.即x2使分式方程的分母为0.所以x2不是原方程的解，即x2是原方程的增根，此方程无解.在本题中，分式方程有增根，方程无解，但并不是说只要有增根方程就无解，等大家进入高年级，学习了更多的知识，会发现有增根的分式方程并不全是无解的.2
