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1、二元一次方程组的应用典型例题例1 小明家去年结余5000元，估计今年可结余9500元，并且今年收入比去年高15，支出比去年低10，求去年的收入与支出各是多少？例2 要配制成浓度为30的烧碱溶液50千克，需要浓度为10和60的两种烧碱溶液多少千克？例3 一辆汽车在相距70千米的甲、乙两地往返行驶，由于行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车由甲地到乙地需用2小时30分，而从乙地回到甲地需用2小时18分.若汽车在平地上的速度为30千米/时，上坡的速度为20千米/时，下坡的速度为40千米/时，求从甲地到乙地的行程中，平路、上坡路、下坡路各多少千米？例4 某中学初三（1）班计划用66元钱同时购买单价分别为3元
2、、2元、1元的甲、乙、丙三种纪念品，奖励参加艺术节活动的同学，已知购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件，而购买甲种纪念品的件数不少于10件，且购买甲种纪念品的费用不超过总费用的一半.若购买甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱，那么可有几种购买方案？每种方案中，购买的甲、乙、丙三种纪念品各是多少件？例5某工程队计划在695米线路上分别装米和米长两种规格的水管共100根，问这两种水管各需多少根？ 例6若甲、乙两库共存粮95吨，现从甲库运出存粮的，从乙库运出存粮的40%，那么乙库所余粮食是甲库的2倍，问甲、乙两库原各存多少吨粮食？ 例7 甲、乙两人从相距36千米的两地相向而行.如果甲比乙
3、先走2小时，那么他们在乙出发后经2.5小时相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后经3小时相遇；求甲、乙两人的速度. 例8 通讯员在规定的时间内由A地前往B地.如果他每小时走35公里，那么他就要迟到2小时；如果他每小时走50公里，那么他就可以比规定时间早到1小时，求A、B两地间的距离.例9 某车间加工螺钉和螺母，当螺钉和螺母恰好配套（一个螺钉配一个螺母）时就可以运进库房.若一名工人每天平均可以加工螺钉120个或螺母96个，该车间共有工人81名.问应怎样分配人力，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房？例10 要修一段420千米长的公路.甲工程队先干2天乙工程队加入，两队再合干2天完成任
4、务；如果乙队先干2天，甲、乙两队再合干3天完成任务，问甲、乙两个工程队每天各能修路多少千米？ 例11甲乙两物体分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动，甲的速度较快，当两物体反向运动时，每15秒钟相遇一次，当两物体同向运动时，每1分钟相遇一次，求各物体的速度？ 参考答案例1 分析 若设去年收收x元，支出y元，则可由去年结余5000元，今年结余9500元这两个条件列出两个方程.解 设去年收入x元，支出y元，根据题意，得解得答：去年小明家收入20000元，支出15000元.例2 分析 本题中要抓住两个数量关系，一是两种烧碱溶液重量和为50千克，二是10和60的烧碱溶液中纯烧碱的量的和等于5
5、0千克30的烧碱溶液中的纯烧碱量.解 设需要浓度为10的烧碱溶液x千克，浓度为60的烧碱溶液y千克，根据题意，得 解得 答：需要浓度为10的烧碱溶液30千克，浓度为60的烧碱溶液20千克.例3 解 设甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，则平路为千米，根据题意，得 解得 则答：从甲地到乙地上坡路12千米，下坡路4千米，平路54千米.例4 分析 可设购买甲、乙、丙三种纪念品的件数分别为x、y、z.在题目中有两个相等关系：“购买乙种纪念品的件数比购买甲种纪念品的件数多2件”，“购买甲、乙、丙三种纪念品恰好用了66元钱”.根据这两个相等关系可以列出两个关于x、y、z的方程.但这里有三个未知数，
6、只列出了两个方程是无法求出它们的解的，注意到题目中还有两个限制条件：“购买甲种纪念品的件数不少于10件”，“购买甲种纪念品的费用不超过总费用的一半”.有了这两个条件，就确定了x的取值范围，而x必为正整数，因此可求出x的值，从而求出另外两个求知数.解 设购买的甲、乙、丙三种纪念品的件数分别为x、y、z，根据题意，有 则 ，且， ，又 x为整数， 或.（1）当时，（2）当时，答：可有两种购买方案：第一种方案：购买甲种纪念品10件、乙种12件、丙种12件；第二种方案：购买甲种纪念品11件、乙种13件、丙种7件.例5 分析 本题中有两个未知数规格为米长水管的根数与规格为米长水管的根数.题目中恰有两个相
7、等关系： （1） 米长的水管根数十米长水管根数=100根 （2） 米长水管总米数十米长水管的总米数=线路的总米数 解 设米长规格的水管需根，米长规格的水管根，根据题意，得 解这个方程组，得答：需规格为米长的水管35根，需规格为米长的水管65根.说明：在实际生活中，我们常常遇到象例1这样的问题，我给出的解法是列出二元一次方程组求解.同学们想一想，还有没有其他的方法？能不能列出一元一次方程来解呢？如果能，比较两者的不同，看一看哪种方法简单？然后自己归纳出列二元一次方程组解应用题的步骤.例6 分析 本题有两个未知数甲仓库原存粮与乙库原存粮；有两个相等关系： （1）甲仓库原存粮吨数乙仓库原存粮吨数=9
8、5吨 （2）乙仓库剩余粮食吨数=2倍甲库剩余粮食吨数解 设甲仓库原存粮食吨，乙仓库原存粮食y吨，根据题意，得 解这个方程组，得 答：甲仓库原存粮食45吨，乙仓库原存粮食50吨. 例7 分析 这里有两个未知数甲、乙两人的速度.有两个相等关系： （1）甲先走2小时的行程+甲乙在2.5小时内走的行程=36千米 （2）甲乙3小时走的行程+乙在2小时内走的行程=36千米解 设甲的速度为千米/小时，乙的速度为y千米/小时，根据题意，得 解方程组，得 答：甲的速度为6千米/小时，乙的速度为3.6千米/小时.例8 分析 这里有两个未知数规定时间和A、B两地间距离.有两个相等关系：（1）员速度以35公里/小时走
9、完全程用的时间2小时=规定时间 （2）通讯员速度为50公里/小时走完全程用的时间+1小时=规定时间解 设A、B两地间的距离为公里，规定时间为y小时.根据题意，得 解方程组，得 答：A、B两地间的距离为350公里.例9 分析 这里有两个未知数生产螺钉的人数和生产螺母的人数.有两个相等关系： （1）生产螺钉的人数生产螺母的人数=总人数（81名） （2）每天生产的螺钉数=每天生产的螺母数解 设生产螺钉的工人有名，生产螺母的工人有y名，根据题意，得 解方程组，得 答：生产螺钉的工人有36名，有45名工人生产螺母，才能使每天生产出来的零件及时包装运进库房.例10 分析 这里有两个未知数甲工程队每天修路的
10、千米数和乙工程队每天修路的千米数；有两个相等关系： （1）甲2天修路的长甲、乙合修2天的公路长=公路总长 （2）乙2天修路的长甲、乙合修3天的公路长=公路总长解 设甲每天修公路千米，乙每天修公路y千米，根据题意，得 解方程组，得 答：甲每天修公路90千米，乙每天修公路30千米.例11 分析 题中有两个未知数，即甲乙两物体速度，题中“每15秒相遇一次”就是15秒两物体经过路程之和是600米，“每分钟相遇一次”就是60秒甲物体要比乙物体多运动一周，故有两个等量关系. 解 设甲物体速度为x米秒，乙物体为y米秒. 根据题意得解得 解得答：甲乙两物体速度为25米秒，15米秒. 说明：解此题关键是找出甲、乙两物体同向、反向运动路程之间的相等关系，必要时可画出两物体运动的轨迹示意图，帮助找相等关系.7
