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1、轨迹问题中的合情推理和演绎推理 由于轨迹问题渗透着集合、运动和数形结合等重要思想,具有涉及面广,综合性强,技能要求高等特点,近年来,越来越多地出现在中考压轴题中.这类题型与通常给出图形的几何证明与计算题不同,需要经历一个“据性索图”的推理过程.本文举例对轨迹问题进行解析. 题目 (2016年日照)阅读理解: 我们把满足某种条件的所有点所组成的图形,叫做符合这个条件的点的轨迹. 例如,角的平分线是到角的两边距离相等的点的轨迹. 问题:如图1,已知为的中位线, 是边上一动点,连结交于点,那么动点为线段中点. 理由: 线段为的中位线, , 由平行线分线段成比例得,动点为线段中点. 由此你得到动点的运
2、动轨迹是: . 知识应用: 如图2,已知为等边边、上的动点,连结;若,且等边的边长为8,求线段中点的运动轨迹的长. 拓展提高: 如图3, 为线段上一动点(点不与点、重合),在线段的同侧分别作等边和等边,连结、,交点为. (1)求的度数; (2)若,求动点运动轨迹的长. 一、运动轨迹是线段 动点是与的交点,根据轨迹的定义易知,动点的运动轨迹是线段. 1.合情推理,三点共线 知识应用中,因为点可与点、重合,点可与点、重合,要判断线段中点的运动轨迹,可以通过画出起点、终点、中间点进行探索.如图4,当时,动点运动到的中点,将的中点记为运动轨迹的起点; 当时,动点运动到的中点,将的中点记为运动轨迹的终点
3、;当时,满足条件的任意一点记为中间点.通过观察,可以发现、在同一直线上,因此可以猜想出动点的运动轨迹是线段. 2.演绎推理,证明平角 在猜想出的运动轨进是线段后、需要演绎推理判断猜想的正确性. 在图2中,分别作出的中点,的中点.要确定动点始终在线段上,需要连结、,证明为平角,如图5. 在上取,连结,在上取,连结. 由,,得, 又因为为的中点,得,易知是的中位线,得. 同理,又易知,故. 由于线段是的中位线,即的运动轨迹的长为3. 二、运动轨迹是圆弧 拓展提高(1)中,根据证明,易知. 1.合接推理,三点不共线 拓展提高(2)中,因为点不与点、重合,要判断、交点的运动轨迹,可以通过画出两个极限点
4、和中间点进行探索. 如图3,当点无限接近点时,动点也无限接近点,将点记为运动轨迹的一个极限点. 当点无限接近点时,动点也无限接近点,将点记为运动轨迹的另一个极限点; 当点在上时,满足条件的任意一点中间点.通过观察,发现、不在同一直线上,因此可以猜想出动点的运动轨迹是圆弧. 2.演绎推理,计算角度猜想之后,同样需要演绎推理判断猜想的正确性. 通过拓展提高(1),可以发现,这正好是点轨迹为圆弧的演绎推理,说明了是的圆周角. 而对运动轨迹长度的计算,可以利用作外心的方法找到圆心补齐圆求解,如图6.在圆上任惫取一点,连绪,得,所以.作于点,易知,所以弧的长=,故动点运动轨迹的长. 以上问题中包含了初中数学轨迹问题中的两种典型情况:线段或圆弧 .在研究轨迹问题时,需要找到三个静止的点,合情推理出轨迹形状,然后进行逻辑推理证明角的度数,从而计算出轨迹长度.4