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1、初三数学全等三角形知识精讲一. 本周教学内容: 全等三角形二. 教学过程:图形全等的识别:(1)重叠法:能够完全重合的两个图形是全等图形;(2)形状、大小完全相同的图形是全等图形;(3)相似比为1的两个图形是全等图形。全等三角形的识别:1. 判定公理:(1)判定公理1 (简称“边角边”或“SAS”)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(2)判定公理2 (简称“角边角”或“ASA”)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。(3)判定公理3 (简称“边边边”或“SSS”)有三边对应相等的两个三角形全等。(4)判定4(推论,简称为“角角边”或“AAS”)有两角和其中一角的对边对应相等的两
2、个三角形全等。(5)判定5(斜边、直角边公理,简称“斜边直角边”或“HL”)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 例1. 如图1,ADE和ABC是全等的,指出它们的对应边和对应角。图1分析:依据图形找对应边和对应角,应认真观察图形,较长的边与较长的边对应,较短的边与较短的边对应,较大的角跟较大的角对应。解:当ADEABC时,AD与AB,AC与AE,ED与CB是对应边;E与C,EAD与CAB,EDA与B是对应角。点拨:认真视图是关键。 例2. 如图2,ABCADE,12,BD,指出其他的对应边和对应角。图2分析:可将两个三角形从图形中分离出来,再寻找余下的对应边和对应角。解:BAC与
3、DAE是另一对对应角;AB与AD,AC与AE,BC与DE是对应边。点拨:做题时,书写全等三角形要注意它们对应顶点的排列顺序,书写时,对应顶点所确定的对应线段为对应边,对应边所对的角为对应角,这样可有效地防止出错。 例3. 如图3,已知ABDE,AB/DE,AFDC。试说明ABCDEF全等的理由。图3分析:由图形及已知ABDE、AFDC可得ACDF,而它们的夹角A和D由AB/DE可得出。解:AB/DEAD又AFDCAFFCFCDC即ACDF在ABC和DEF中,点拨:(1)根据结论找条件,找相等的角和相等的边。(2)先找相等的边和角。 例4. 已知如图4,在ABC中,BE、CF分别是AC、AB边上
4、的高,在BE的延长线上截取BMAC,在CF的延长线上截取CNAB,请说明:(1)AMAN。(2)AMAN。图4分析:BMAC,CNABABM和ACN是BAC的余角,即ABMACN。由此可得ABMNCA。从而说明AMAN,利用余角得出AMAN。解:(1)BE,CF为ABC的两条高。AFCAEB90(垂直定义)BACABEBACACF90即在ABM和NCA中,(全等三角形对应边相等)(全等三角形对应角相等)(2)BAMNAF90NAM90即AMAN。点拨:利用同角的余角相等得到ABMACN。再用余角说明AMAN。 例5. 如图5,已知:ADAE,BC。说明BDCE的理由。图5分析:由推论易证。 即
5、解:在ABE和ACD中,ABAC(全等三角形的对应边相等)即:BDCE点拨:巧妙地利用等式性质。 例6. 已知,如图6,ABAC,BECE,AE的延长线交BC于D,图中的BDCD,ADBC。是否成立?为什么?图6分析:由已知先说明得,再利用,得,即ADBC。解:在ABE和ACE中。(全等三角形的对应角相等) 例7. 如图7,要使,还需要添加一个条件(只需添加一个条件)_。图7分析:这是一道开放型试题,解题时关键是正确理解全等三角形的识别方法。由12可得到所要证明的两个三角形的两个内角AEBAEC,又AEAE,故若添加BAECAE,可利用(ASA)证明ABEACE;若添加BE=EC,可利用(SA
6、S)证明ABEACE;若添加BC,可利用(AAS)证明ABEACE。解:可填BAECAE,或BECE,或BC。 例8. 已知如图8中,ABAC,E为AB上一点,F是AC延长线上一点,且BECF,EF交BC于点D,图8求证:DEDF。分析:要证DEDF,从图上看这两条线段所在的两个三角形显然不能全等,这需要添加辅助线构造全等三角形,使结论得证。证法1:过点E作EG/AF交BC于点G,所以12,所以EGD=DCF,又因为AB=AC,所以B=2,所以1=B,故BE=EG,又因为BE=CF,所以EG=CF,于是DEG和DFC中3=4,EGD=DCF,GE=CF。故DEGDFC,所以DE=DF。证法2:
7、如图9,过点F作FM/BA交BC延长线于点M,所以B=M,因为AB=AC,所以B=1。图9所以1=M,1=2,所以M=2,故CF=MF又因为BE=CF,所以BE=MF在EBD和FMD中B=M,3=4,BE=MF所以EBDFMD,故ED=DF证法3:如图10,过点E作EGBC于点G,过F作FHBC交BC的延长线于点H图10所以EGB=H=EGD=90因为AB=AC,所以B=3因为3=4,所以B=4,在EBG和FCH中,EGB=H,B=4,BE=CF所以EBGFCH,所以EG=FH,又因为EGD=H,1=2,所以EGDFHD,故ED=DF 例9. 如图11,在ABC中,AD平分BAC,AB+BD=
8、AC,图11求证:B:C的值。分析:由AB+BD=AC,可延长AB到M,使AM=AC(或在AC上截取一段AN=AB)。此题就易解答。解:延长AB到M,使AM=AC,连结DM。因为AC=AB+BD,所以AM=AB+BD=AB+BM,所以BM=BD,即M=BDM,因为AM=AC,1=2,AD=AD,所以AMDACD。所以M=C,所以ABC=2M=2C,即有ABC:C=2:1 例10. 如图12中,正方形ABCD,M是AB中点,E是AB延长线上一点,MNDM且交CBE的平分线于N。图12(1)求证:MD=MN(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任一点”,其余条件不变,则结论“MD
9、=MN”还成立吗?如果成立请证明,如果不成立,请说明理由。分析:由正方形ABCD,且DMMN,易得12,若MD=MN,在DA上取中点F,则DMFMNB。此题转化为证明三角形全等,显然下一步是寻找角相等作为已知条件,由AM=AF,可发现DFM=MBN=135。证明:(1)取正方形ABCD的边AD的中点F,连结MF因为M是AB中点,所以DF=AF=AM=MB所以AFM是等腰直角三角形,AFM=45,即DFM=135因为BN平分CBE,所以CBN=45,即MBN=135因为DMMN,所以2+3=90,因为1+3=90所以1=2,在DFM和MBN中1=2,DF=MB,DFM=MBN=135所以DFMM
10、BN,所以DM=MN(2)若M为AB上任一点,结论“DM=MN”仍成立。在DA上截取DF=MB,连结MF,则AF=AM,AFM是等腰直角三角形,所以AFM=45,即DFM=135。因为BN平分CBE,所以MBN=135因为DMMN,所以2+3=90,又因为1+3=90,所以12,在DFM和MBN中,12,DF=MB,DFM=MBN,所以DFMMBN,故DM=DN。【模拟试题】一. 填空题(每小题6分,共48分) 1. 如图1,ABCDCB,且AB和DC是对应边,BAC和CDB是对应角,其他对应边有_,对应角有_。图1 2. 已知:ABCABC,A=A,B=B,C=70,AB=10cm,则C=_
11、,AB=_。3. 如图2,O是AC、BD的中点,那么AOBCOD,根据是_;若A=65,那么C=_,根据是_。图24. 中,已知,若以“SSS”为条件,说明,需增加的一个条件是_。5. 如图3,AB=AC,要证明,还需要添加一个条件,把你考虑的不同方案一一写出_。图36. 如图4,A=D,OB=OC,填写需要补充的条件,使结论成立,在AOB和DOC中,所以。图47. 如图5,将ABC绕点A顺时针旋转_与ADE重合。图58. 如图6,在ABC和DEF中,如果AB=DE,BC=EF,只要给出_=_,或者_/_,就可说明。图6二. 选择题(每小题5分,共25分)。 9. 如图7,AB=4,BC=5,
12、AC=6,则ADC的周长为( )A. 4B. 5C. 15D. 不能确定图7 10. 如图8,在ABC和ABC中,若使,必须满足条件( )A. B. C. D. 图8 11. 如图9,已知A=D,EFD=BCA,那么要得到ABCDEF,还应给出的条件是( )A. E=BB. ED=BCC. AB=EFD. AF=CD图9 12. 如图10,AB与DC相交于点E,EA=EC,DE=BE,若使,则( )A. 应补充条件A=CB. 应补充条件B=DC. 不用补充条件D. 以上说法都不正确图10 13. 如图11,C=D=90,要用“HL”判定ABCBAD,应补充的条件是( )A. ABC=BADB. BAC=ABDC. AC=BDD. BC=AB图11三. 解答题(14小题8分,15小题9分,16小题10分,共27分)。 14. 下面图形中有哪些是全等的? 15. 如图12,已知于D,要使,还需什么条件?并说明理由。(1)_( );(2)_( );(3)_( );(4)_( )。图12 16. 如图13,要测量河岸相对的两点A、B的距离,可以在AB的垂线BF上取两点C、D,使CD=CB。再作出BF的垂线DE,使A、C、E在一条直线上,这时测得DE的长度为a,求AB的距离。图13参考答案一. 1. BC和CB,AC和DB;ABC和DCB;ACB和DBC 2. 70,10cm3.