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1、2011年全国各地中考数学压轴题专集：4二次函数1设函数ykx 2(2k1)x1（k为实数）（1）写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，用描点法画出这两个函数的图象；（2）根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；（3）对任意负实数k，当xm时，y随着x的增大而增大，试求出m的一个值Oxy-1-2-3-1-3-2-1-2-3-4-5-1-2-3-4-52在平面直角坐标系xOy中，二次函数ymx 2( m3)x3（m0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（1）求点A的坐标；（2）当ABC45时，求m的值；（
2、3）已知一次函数ykxb，点P（n，0）是x轴上的一个动点在（2）的条件下，过点P垂直于x轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数ymx 2( m3)x3（m0）的图象于N若只有当2n2时，点M位于点N的上方，求这个一次函数的解析式Oxy-1-13已知平面直角坐标系xOy，一次函数y x3的图象与y轴交于点A，点M在正比例函数y x的图象上，且MOMA，二次函数yx 2bxc的图象经过点A、M（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）若点B在y轴上，点C在上述二次函数的图象上，点D在一次函数y x3的图象上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标4已知二次函数yax 2bx
3、c和一次函数ybx，其中实数a、b、c满足abc，abc0（1）求证：这两个函数的图象交于不同的两点；（2）设这两个函数的图象交于A、B两点，作AA1x轴于A1，BB1x轴于B1，求线段A1B1长的取值范围5已知二次函数yax 24bx4c（a0）有两个实数根x1，x2，且2x1x23（1）求证：存在以a，b，c为边长的三角形；（2）求证： 6已知二次函数yx 2bxc（c0）的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，ABC的外接圆的圆心为点P（1）证明：P与y轴的另一个交点为定点；（2）如果AB恰好为P的直径且SABC 2，求b和c的值7已知关于x的二次函数y1( m2)x 22x1和y2(
4、 m2)x 2mxm1的图象都经过x轴上的点（n，0）（1）求m的值；（2）将二次函数y1( m2)x 22x1的图象先沿x轴翻折，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数y3的图象求y3的解析式；在所给的坐标系中画出y2和y3的大致图象，并结合函数的图象回答：当x取何值时，y3y2？1xyO-18已知关于x的方程： a10有一个增根为b，另一根为c（1）求a、c的值；（2）若二次函数yax 2bxc7（ x ）图象与x轴交于E、F两点，在此二次函数的图象上求一点P，使PEF的面积最大，求点P的坐标9已知：二次函数yx 2bx3的图象经过点P（2，5）（1）求b的值，并写出当1x 3时y的取值
5、范围；（2）设P1（m，y1）、P2（m1，y2）、P3（m2，y3）在这个二次函数的图象上当m4时，y1、y2、y3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；当m取不小于5的任意实数时，y1、y2、y3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由10已知A（1，0），B（0，1），C（1，2），D（2，1），E（4，2）五个点，抛物线ya( x1)2k（a0）经过其中的三个点（1）求证：C，E两点不可能同时在抛物线ya( x1)2k（a0）；（2）点A在抛物线ya( x1)2k（a0）上吗？为什么？（3）求a与k的值11已知二次函数yx 2(2m1)x4m6（1）试说明不论m取任何实数，函数图
6、象都经过x轴上的一个定点A；（2）设函数图象与x轴的另一个交点为B（A与B不重合），顶点为C，当ABC为直角三角形时，求m的值；（3）在（2）的条件下，若点B在点A的右侧，点D的坐标为（0，3），点E是函数图象上一点问：在x轴上是否存在点F，使得以D、E、F为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出F点坐标；若不存在，请说明理由12已知二次函数yx 2bxc，其中函数值y与自变量x的部分对应值如下表：x10123y05898（1）求该二次函数的关系式，并在给定的坐标系中画出函数的图象；（2）若A（m，y1），B（m4，y2）两点都在该函数的图象上试比较y1与y2的大小；若A、B两点位于x轴的
7、下方，点P为函数图象的对称轴与x轴的交点，点Q为函数图象上的一点，解答下列问题：（）求实数m的取值范围；-2642-22-4-10-8yMOMxM-6（）是否存在实数m，使得以P、A、B、Q四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由13已知二次函数yx 2( 2a1 )x2a（1）若函数图象与x轴有两个不同交点，且分别位于点（2，0）的两侧，求实数a的取值范围；（2）若函数图象不经过第三象限，且当x2时，函数值y随x的增大而增大，求实数a的取值范围14已知关于x的一元二次方程x 24xc0有实数根，且c为正整数（1）求c的值；（2）若此方程的两根均为整数，在平面直
8、角坐标系中，抛物线yx 24xc与x轴交于A、B两点（A在B左侧），与y轴交于点C点P为对称轴上一点，且四边形OBPC为直角梯形，求PC的长；（3）将（2）中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D的坐标为（m，n），当抛物线与直角梯形OBPC只有两个交点，且一个交点在PC边上时，直接写出m的取值范围15已知一次函数y12x，二次函数y2mx 23( m1)x2m1的图象关于y轴对称，y2 的顶点为A（1）求二次函数y2的解析式；（2）将y2左右平移得到y3，y3交y2于点P，过P点作直线lx轴交y3于点Q，若PAQ为等腰三角形，求P点坐标和函数y3的解析式；（3）是否存在二次函数y4ax 2bx
9、c，其图象经过点（5，2），且对于任意一个实数x，y1y4y2均成立，若存在，求出函数y4的解析式；若不存在，请说明理由16已知二次函数yax 2bxc（a0）图象经过点C（0，1），且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标为（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记PCD的面积为S1，PAB的面积为S2，当0a1时，求证：S1 S2为常数，并求出该常数17已知二次函数yax 2bxc图象的顶点坐标为（2，4）（1）试用含a的代数式分别表示b，c；（2）若一次函数ykx4（k0）图象与y
10、轴及二次函数yax 2bxc图象的交点依次为D、E、F，且 ，其中O为坐标原点，试用含a的代数式表示k；（3）在（2）的条件下，若线段EF的长m满足3 m3 ，试确定a的取值范围18已知二次函数yx 2bxc的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点（A在B的左侧），且x1x24（1）求b的值及c的取值范围；（2）若AB2，求二次函数的表达式；（3）设该二次函数的图象与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E问是否存在这样的二次函数，使AOCBED？若存在，求二次函数的表达式；若不存在，请说明理由19已知二次函数yx 2mx m 2（m0）的图象与x轴交于A、B两点（1）求证：该函
11、数图象的对称轴在y轴的左侧；（2）若 （O为坐标原点），求二次函数的表达式；（3）设函数图象与y轴交于点C，若ABC是直角三角形求ABC的面积20已知二次函数y x 2 x的图象如图所示（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该函数图象沿它的对称轴向上平移，设平移后的图象与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若ACB90，求此时函数的解析式；（3）设（2）中平移后的函数图象的顶点为M，以D为圆心，AB为直径作D，试判断直线CM与D的位置关系，并说明理由.OCADMyxB备用图OCADMyxB21已知二次函数的图象经过点A（1，0）和点B（2，1），且与y轴交点的纵坐标为m（1）若m为定
12、值，求此二次函数的解析式；（2）若二次函数的图象与x轴还有异于点A的另一个交点，求m的取值范围；（3）若二次函数的图象截直线yx1所得线段的长为2 ，求m的值22已知二次函数y3ax 22bxc（1）若ab1，c1，求函数图象与x轴交点的坐标；（2）若ab1，且当1x1时，函数图象与x轴有且只有一个交点，求c的取值范围；（3）若abc0，且当x0和x1时，对应的函数值y均大于0试判断当0x1时，函数图象与x轴是否有交点？请说明理由23在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，2）作一直线与二次函数yax 2（a0）图象交于A、B两点，且使AOB90（1）判断A、B两点纵坐标的乘积是否为定值，并说明
13、理由；（2）求a的值；（3）当AOB的面积为4 时，求直线AB的解析式24已知二次函数yx 24xm（m为常数）的图象经过点（0，4），将该函数图象先向右、再向下平移得到一新的函数图象，已知平移后的函数图象满足下述两个条件：它的对称轴（设为直线l2）与平移前的函数图象的对称轴（设为直线l1）关于y轴对称；它所对应的函数的最小值为8（1）求平移后的二次函数的表达式；（2）试问在平移后的函数图象上是否存在点P，使得以3为半径的P既与x轴相切，又与直线l2相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出直线l2被P所截得的弦AB的长度；若不存在，请说明理由25使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点例如，对于函数yx1，令y0，可得x1，则1就是函数yx1的零点己知函数yx 22mx2( m3)（m为常数）（1）当m0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为x1和x2，且 ，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B（点A在点B左侧），点M在直线yx10上，当MAMB最小时，求直线AM的函数解析式26已知二次函数yx 22mxm 24的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），且与y轴交于点D（1）当点D在y轴正半轴时，是否存
