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1、初三数学寒假专题 动态几何一. 本周教学内容：寒假专题动态几何主要内容图形的运动变化问题。【典型例题】 例1. 已知；O的半径为2,AOB60，M为的中点，MCAO于C,MDOB于D，求CD的长。 分析：连接OM交CD于E， AOB60，且M为中点 AOM30，又OMOA2 例2. 如图，AB是 O的直径，O过AE的中点D，DCBC，垂足为C。 （1）由这些条件，你能推出哪些正确结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可） （2）若ABC为直角，其它条件不变，除上述结论外，你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形。（要求：写出6个结论
2、即可，其它要求同（1） 分析：（1）ABBE DCCE AE DC为O切线 （2）若ABC为直角 则AE45，DCBC DCAB，DCCE，BE为O的切线 例3. 在直径为AB的半圆内划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆上，现要建造一个内接于ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，如图的设计方案是AC8，BC6。 （1）求ABC中AB边上的高h； （2）设DNx，当x取何值时，水池DEFN的面积最大？ 分析：（1）AB为半圆直径 ACB90 AC8，BC6 AB10 ABC中AB边上高h4.8m （2）设DNx，CMh4.8 则MPx 当时，水池面积最大。 例4. 正方形
3、ABCD的边长为6cm，M、N分别为AD、BC中点，将C折至MN上，落在P处，折痕BQ交MN于E，则BE_cm。 分析：BPQBCQ BPBC6 连接PC，BPPC（M、N为中点） BPC为等边三角形 PBC60， 又 在RtBEN中，BN3 例5.一束光线从y轴上点A（0，1）出发，经过x轴上点C反射后经过点B（3，3），则光线从A点到B点经过的路线长是 。 分析：A（0，1），B（3，3），则OA1 过B作BMx轴于M 则BM3，OM3 又AC与CB为入射光线与反射光线 AOCBCM AOCBMC 同理：BC 例6. 在ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BE
4、MN于E. （1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ADCCEB；DEADBE； （2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DEADBE； （3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明。 分析：（1）ADMN BEMN ADCCEB90 DACDCA90 又ACB90 DCAECB90 DACECB ACBC ADCCEB DCBE ADCE DEDCCE BEAD （2）与（1）同理 ADCCEB CDBE ADCE DECECD ADBE （3）当直线MN绕点C旋转到图3位置时 与（1）（2）同理可知 CE
5、AD，BECD DECDCE BEAD 例7. 把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合.现将三角板EFG绕O点顺时针旋转（旋转角满足条件：090)，四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图）。 （1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论； （2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH，GKH的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使GKH的面积恰好等于ABC面积的？若存在，求
6、出此时的值；若不存在，说明理由。 分析：（1）在上述旋转过程中，BHCK，四边形CHGK的面积不变. 证明：连结CG ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点 CGBG,CGAB ACGB45 BGH与CGK均为旋转角， BGHCGK BGHCGK BHCK,SBGHSCGK S四边形CHGKSCHGSCGK SCHGSBGHSABC 444 即：S四边形CHGK的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化 （2）ACBC4，BH， CH4，CKx 由SGHKS四边形CHGKSCHK， 得 090，04 （3）存在。 根据题意，得 解这个方程，得 即：当或时，GHK的面积均等于ABC的面积
7、的。 例8. 经过O内或O外一点P作两条直线交O于A上和C、D四点（在图、中，有重合的点），得到了如图所表示的六种不同情况。 （1）在六种不同情况下，PA、PB、PC、PD四条线段之间在数量上满足的关系式可以用同一个式子表示出来，首先写出这个式子，然后只就如图所示的圆内两条弦相交的一般情况，给出它的证明； （2）已知O的半径为一定值，若点 P是不在O上的一个定点，请你过点 P任作一直线交O于不重合的两点C、D，PCPD的值是否为定值？为什么？由此你发现了什么结论？请你把这一结论用文字叙述出来。 分析：（1）PAPBPCPD 证明：连接AC、BD 则ACPDBP APBPCPDP（2）PCPD的
8、值为定值（当P在圆外时） 借助图，过P作O切线PA则（连接PO交O于E,并延长交O于F时） 又有 （当P在圆内时）借助图，连接OP并延长分别交O于E，F时 例9. 如图所示，AB是半圆O的直径，点M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点 Q在半圆O上运动，且总保持 PQPO，过点 Q作O的切线交BA的延长线于点C。 （1）当QPA60时，请你对QCP的形状做出猜想，并给予证明。 （2）当QPAB时，那么QCP的形状是_三角形。（3）由（1）、（2）得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时，QCP一定是_三角形。 分析：（1）QCP是等边三角形 证明：连接O
9、Q，则CQ为O切线 CQOQ，CQO90 PQPO，QPC60 POQPQO30 C903060 CQPCQPC60 QPC是等边三角形 （2）等腰直角三角形 （3）等腰三角形 例10. 如图甲、乙、丙，在图甲中，以 O为圆心，半径分别为R，r（Rr）的两个同心圆中，A、D为大O上的任意两点，小圆O的割线 ABC与DEF都经过圆心O现在我们证明：ABACDEDF 证明：因为小O的割线ABC与DEF都经过圆心O，所以 ABRr，ACRr，DFRr，DERr，所以ABDE，ACDF，故ABACDEDF。 阅读上述证明后，完成下列两题： （1）将图甲变换成图乙（ABC不经过圆心O，DEF经过圆心O）求证：ABACDEDF （2）将图乙变换成图丙（ABC与DEF都不经过圆心O），请对图丙中有关线段之间存在的关系，做出合理猜想，并给予证明。 分析：（1）连接AO并延长与小O交于B、C两点 可证得：而 （2）猜想ABACDEDF，连接DO交小O于E、F 由（1）得ABACDEDF，而DEDFDEDF 故猜想成立。用心 爱心 专心 125号编辑 9
