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1、分式方程的解法及其典例分析一、内容综述：1解分式方程的基本思想在学习简单的分式方程的解法时，是将分式方程化为一元一次方程，复杂的（可化为一元二次方程）分式方程的基本思想也一样，就是设法将分式方程“转化”为整式方程即 分式方程整式方程2解分式方程的基本方法(1)去分母法去分母法是解分式方程的一般方法，在方程两边同时乘以各分式的最简公分母，使分式方程转化为整式方程但要注意，可能会产生增根。所以，必须验根。产生增根的原因：当最简公分母等于0时，这种变形不符合方程的同解原理(方程的两边都乘以或除以同一个不等于零的数，所得方程与原方程同解)，这时得到的整式方程的解不一定是原方程的解检验根的方法：（1）将
2、整式方程得到的解代入原方程进行检验，看方程左右两边是否相等。（2）为了简便，可把解得的根直接代入最简公分母中，如果不使公分母等于0，就是原方程的根；如果使公分母等于0，就是原方程的增根。必须舍去注意：增根是所得整式方程的根，但不是原方程的根，增根使原方程的公分母为0用去分母法解分式方程的一般步骤： (i)去分母，将分式方程转化为整式方程； (ii)解所得的整式方程； (iii)验根做答(2)换元法为了解决某些难度较大的代数问题，可通过添设辅助元素（或者叫辅助未知数）来解决辅助元素的添设是使原来的未知量替换成新的未知量，从而把问题化繁为简，化难为易，使未知量向已知量转化，这种思维方法就是换元法换
3、元法是解分式方程的一种常用技巧，利用它可以简化求解过程用换元法解分式方程的一般步骤： (i)设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式； (ii)解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值； (iii)把辅助未知数的值代回原设中，求出原未知数的值； (iv)检验做答注意：（1）换元法不是解分式方程的一般方法，它是解一些特殊的分式方程的特殊方法。它的基本思想是用换元法把原方程化简，把解一个比较复杂的方程转化为解两个比较简单的方程。（2）分式方程解法的选择顺序是先特殊后一般，即先考虑能否用换元法解，不能用换元法解的，再用去分母法。（3）无论用什么方法解分式方程，验根都
4、是必不可少的重要步骤。二、例题精析：例1解分式方程：。分析：解分式方程的思路是把方程去分母化为整式方程。解：方程两边都乘以x(x+2)，约去分母，得 x+4-x=2(x+2)+x(x+2) 整理后，得x2+4x=0 解这个方程，得x1=0, x2=-4, 代入公分母检验： 当x1=0时，x(x+2)=0(0+2)=0, x=0是增根； 当x2=-4时，x(x+2)=-4(-4+2)0, x=-4是原方程的根。 故原方程的根是x=-4。例2解方程：。分析：本题中各个分式的分子与分母是同次多项式，故从中析出一个整数来（用拆分分式的方法），；考虑方程中有四个分式，可以移项后利用公式把分式拆项，将方程
5、化简。解： 即， 移项，整理，得 ， 即， 亦即， 去分母，得(x-6)(x-5)=(x-9)(x-8)，去括号，整理，得x=7.经检验，x=7是原方程的根。 原方程的根是x=7。例3解方程。解法1：方程两边都乘以(x+4)(x+5)(x+2)(x+3)，去分母，得 (x+3)2(x+5)(x+2)-(x+4)2(x+2)(x+3) =(x+1)(x+4)(x+5)(x+3)-(x+2)2(x+4)(x+5) 即4x+14=0,， 经检验知是原方程的解。解法2：方程两边分别通分，得 ， 即， (x+5)(x+4)=(x+2)(x+3)解得。解法3：利用拆分分式的方法将原来的方程变形。 原方程可
6、化为 即：， 两边分别通分，得，解之，得 。例4解方程。解：设， 则原方程变形为y2-5y+6=0, 解得y1=2, y2=3, 由，解得x1=4; 由，解得x2=3. 经检验x1=4, x2=3，都是原方程的根。例5用换元法解方程.解：设2x2+3x=y，于是原方程变为，整理，得y2-4y-5=0 解得y1=5, y2=-1. 当y=5时，即2x2+3x=5, 解得x1=1, , 当y=-1时，2x2+3x=-1，解得x3=-1, , 经检验，x1=1, , x3=-1, 都是原方程的根。 原方程的根为x1=1, , x3=-1, 。例6解方程。分析：利用方程左边结构特点，构造一元二次方程来
7、解。解：设，所以原方程变形为：, 整理得：y2-7y+10=0 解得y1=2, y2=5， 当y1=2时，即， x1=0, x2=2; 当y2=5时， 即x2-5x+9=0 （0，此方程无实根） 经检验，x1=0, x2=2是原方程的解。例7解方程.分析：此方程初看起来容易把，视为，而实际上，所以.但是,就是说原方程可变形为, 变形后才可用换元法解此方程。解：原方程可化为 即,设, 则原方程可化为：2y2-3y-5=0 解得y1=-1, y2=, 当y=-1时，, 去分母整理，得x2+x+1=0 解这个方程，0, 方程无解。 当y=时，, 去分母整理，得2x2-5x+2=0 解得x1=2, , 经检验，x1=2, 都是原方程的根。 原方程的根是x1=2, 。 （注意：切勿把看作 ）例8若分式方程有增根x=2，求a的值。分析：将方程的两边同乘以最简公分母(x+2)(x-2)，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0，若分式方程有增根x=2，则x=2一定是整式方程a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0的根，代入之即可求出a。解：原分式方程去分母，得a(x+2)+1+2(x+2)(x-2)=0 把x=2代入所得方程，得4a+1+0=0, a=-, 当 a=-时, x=2是原分式方程的增根。5
