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1、福建省莆田第九中学 2020 届高三高考模拟试题文 科 数 学第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合,,则( )A B C D2. 已知为虚数单位,复数,则下列命题为真命题的是( )A 的共轭复数为 B的虚部为 -1 C在复平面内对应的点在第一象限 D3. 设一个线性回归方程,当变量每增加一个单位时,则的变化情况正确的是( )A平均增加约1.2 个单位 B平均增加约 3 个单位 C平均减少约1.2 个单位 D平均减少约 3 个单位4. 若,则( ) A B C. D05. 若满足约束条件,则函数的最
2、小值为( )A 5 B 2 C. -2 D-56. 在中,角的对边分别为,若,则( )A B C. D17. 函数(且)与函数的图像关于直线对称,则函数与二次函数在同一坐标系内的图像可能是( )A B C. D8. 已知函数,函数,执行如图所示的程序框图,若输入的,则输出的值为的函数值的概率为( )A B C. D9. 已知定义在上的函数,设两曲线与在公共点处的切线相同,则值等于( )A -3 B1 C. 3 D510. 已知三棱锥中, 则三棱锥的外接球的表面积为( )A B C. D11. 过正方体的顶点的平面与直线垂直,且平面与平面的交线为直线,平面与平面的交线为直线,则直线与直线所成角的
3、大小为( )A B C. D12. 已知为函数的图像上任意一点,过作直线,分别与圆相切于两点,则原点到直线的距离的最大值为( )A B C. D第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 甲、乙、丙三位教师分别在哈尔滨、长春、沈阳的三所中学里教不同的学科,已知:甲不在哈尔滨工作,乙不在长春工作;在哈尔滨工作的教师不教学科;在长春工作的教师教学科;乙不教学科.可以判断乙教的学科是 14. 设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上,且球的表面积是,则此直三棱柱的高是 15. 已知点是椭圆的左、右焦点,点是这个椭圆上位于轴上方的点,点是的外心,若存在实数,使得,则当的面积
4、为8 时,的最小值为 16. 已知的导函数为,若且当时,则不等式的解集是 三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 设数列的前项和为,且.()求数列的通项公式; ()若,设,求数列的前项和18. 某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响,询问了 30 名同学,得到如下的 列联表:使用智能手机不使用智能手机总计学习成绩优秀4812学习成绩不优秀16218总计201030()根据以上列联表判断,能否在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响?()从使用学习成绩优秀的 12 名同学中,随机抽取 2 名同
5、学,求抽到不使用智能手机的人数的分布列及数学期望.智能手机的 20 名同学中,按分层抽样的方法选出 5 名同学,求所抽取的 5 名同学中“学习成绩优秀”和“学习成绩不优秀”的人数;()从问题()中倍抽取的 5 名同学,再随机抽取 3 名同学,试求抽取 3 名同学中恰有 2 名同学为“学习成绩不优秀”的概率.参考公式:,其中 参考数据:0.050,。0250.0100.0050.0013.8415.0246.6357.87910.82819. 如图,在三棱锥中,点为边的中点.()证明:平面平面;()求三棱柱的体积.20. 已知椭圆和抛物线,在,上各取两个点,这四个点的坐标为,()求,的方程;()
6、设是在第一象限上的点,在点处的切线与交于两点,线段的中点为,过原点的直线与过点且垂直于轴的直线交于点,证明:点在定直线上21. 已知函数,()若在函数的定义域内存在区间,使得该函数在区间上为减函数,求实数的取值范围;()当时,若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点,求实数的值或取值范围请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,已知=曲直线(为参数)与曲线( 为参数),且曲线与交于两点,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系 ()求曲线的极坐标方程; ()直线绕点旋转后,与曲线分别交于两点,求23.选修4-
7、5:不等式选讲已知函数()若,且恒成立,求实数的取值范围;()若,求的最大值试卷答案一、选择题1-5: CDACD 6-10: BACDD 11、12:CB二、填空题13. C 14. 15. 4 16.三、解答题17. 解:(1)由得, 两式相减得:, 即 , 即 所以数列是公比为的等比数列, 又由得, 所以; (2)因为, 所以, 所以 18. 解:(1)由列联表可得 所以能在犯错误的概率不超过 0.005 的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响(2)根据题意,所抽取的 5 名同学中“学习成绩优秀”有1 名同学,“学习成绩不优秀”有 4 名同学(3)学习成绩不优秀的 4 名同学分别记为;
8、“学习成绩优秀”有1名同学记为则再从中随机抽取 3 人构成的所有基本事件为:,共有10 种;抽取 3 人中恰有 2 名同学为“学习成绩不优秀” 所含基本事件为:,共有 6 种,所求为19. 解:(1)由题意,平面,平面 ,可得,又为等边三角形,点 为边的中点,可得, 与相交于点,则平面,平面,所以,平面平面(2)因为为直角三角形,所以,由(1)可知,在直角三角形中,可得,故,所以,三棱柱的体积为20.解:解:(1)由已知, 点, 在椭圆上,所以,解得:,所以; 点,在抛物线上,所以,所以(2)设,由得, 所以切线的方程为: , 设,由得: 由, 得,代入得, 所以,所以,由得,所以点在定直线上
9、21. 解:(1)因为依题意知在上有解当时显然成立;当时,由于函数的图象的对称轴,故需且只需,即,解得,故.综上所述,实数的取值范围为.(2)因为,故切线的方程为,即从而方程在上有且只有一解.设则在上有且只有一个零点.又,故函数有零点则当时,又不是常数函数,故在上单调递增.所以函数有且只有一个零点,满足题意.当时,由,得或,且.由,得或;由,得.所以当在上变化时,的变化情况如下表:1+0-0+增极大值减极小值增根据上表知而函数.所以,故在上,函数又存在一个零点,不满足题意.综上所述,.22. 解:(1)曲线是以为圆心,1为半径的圆,其极坐标方程为,曲线是以为圆心,2为半径的圆,其极坐标方程为.(2)由得,即直线的斜率为,从而,由已知,设,将代入,得,同理,将代入,得,所以,.23. 解:(1)所以,只需,故实数的取值范围为 (2)由柯西不等式,当且仅当即时,等号成立,故的最大值为.