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1、中考数学重难点专题讲座第三讲 动态几何问题 智康刘豪【前言】第一讲和第二讲我们探讨了有关中考几何综合题的静态问题,相信很多同学已经有所掌握了。但是静态问题的难度最多也就是中等偏上,真正让人抓狂的永远是动态问题。从历年中考来看,动态问题经常作为压轴题目出现,得分率也是最低的。动态问题一般分两类,一类是代数综合方面,在坐标系中有动点,动直线,一般是利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题,在梯形,矩形,三角形中设立动点、线以及整体平移翻转,对考生的综合分析能力进行考察。所以说,动态问题是中考数学当中的重中之重,只有完全掌握,才有机会拼高分。在这一讲,我们着重研究一下动态几何问题的解法,代数方面的
2、动态问题我们将在第七,第八讲来解决。由于有些题目比较难和繁琐,建议大家静下心来慢慢研究,在这些题上花越多时间,中考中遇到类似题目就会省下越多的时间。第一部分 真题精讲【例1】(2010,密云,一模)如图,在梯形中,梯形的高为动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动;动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为(秒)(1)当时,求的值;(2)试探究:为何值时,为等腰三角形【思路分析1】本题作为密云卷压轴题,自然有一定难度,题目中出现了两个动点,很多同学看到可能就会无从下手。但是解决动点问题,首先就是要找谁在动,谁没在动,通过分析动态条件和静态条件之间的关系求
3、解。对于大多数题目来说,都有一个由动转静的瞬间,就本题而言,M,N是在动,意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的。但是我们发现,和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的,而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定MN/AB时,就变成了一个静止问题。由此,从这些条件出发,列出方程,自然得出结果。【解析】解:(1)由题意知,当、运动到秒时,如图,过作交于点,则四边形是平行四边形, (根据第一讲我们说梯形内辅助线的常用做法,成功将MN放在三角形内,将动态问题转化成平行时候的静态问题) (这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键) 解得【思路分析2】第二问失分也是最严重的,很多同学
4、看到等腰三角形,理所当然以为是MN=NC即可,于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况。在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形,一定不要忘记分类讨论的思想,两腰一底一个都不能少。具体分类以后,就成为了较为简单的解三角形问题,于是可以轻松求解【解析】(2)分三种情况讨论: 当时,如图作交于,则有即(利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质),解得 当时,如图,过作于H则, 当时, 则 综上所述,当、或时,为等腰三角形【例2】(2010,崇文,一模)在ABC中,ACB=45点D(与点B、C不重合)为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF(1)如果AB=AC如图,
5、且点D在线段BC上运动试判断线段CF与BD之间的位置关系,并证明你的结论(2)如果ABAC,如图,且点D在线段BC上运动(1)中结论是否成立,为什么?(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC,CD=,求线段CP的长(用含的式子表示) 【思路分析1】本题和上题有所不同,上一题会给出一个条件使得动点静止,而本题并未给出那个“静止点”,所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中,什么条件是不动的。由题我们发现,正方形中四条边的垂直关系是不动的,于是利用角度的互余关系进行传递,就可以得解。【解析】:(1)结论:CF与BD位置关系是垂直; 证明如下:AB=AC ,AC
6、B=45,ABC=45由正方形ADEF得 AD=AF ,DAF=BAC =90, DAB=FAC,DABFAC , ACF=ABDBCF=ACB+ACF= 90即 CFBD【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法,那么思路很简单,就是从一般中构筑一个特殊的条件就行,于是我们和上题一样找AC的垂线,就可以变成第一问的条件,然后一样求解。(2)CFBD(1)中结论成立 理由是:过点A作AGAC交BC于点G,AC=AG可证:GADCAF ACF=AGD=45 BCF=ACB+ACF= 90 即CFBD【思路分析3】这一问有点棘手,D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的,所以已
7、给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.(3)过点A作AQBC交CB的延长线于点Q, 点D在线段BC上运动时,BCA=45,可求出AQ= CQ=4 DQ=4-x,易证AQDDCP, , , 点D在线段BC延长线上运动时,BCA=45,可求出AQ= CQ=4, DQ=4+x 过A作交CB延长线于点G,则 CFBD,AQDDCP, , ,【例3】(2010,怀柔,一模)已知如图,在梯形中,点是的中点,是等边三角形(1)求证:梯形是等腰梯形;(2)动点、分别在线段和上运动,且保持不变设求与的函数关系式;ADCBPMQ60(3)在(2)中
8、,当取最小值时,判断的形状,并说明理由【思路分析1】本题有一点综合题的意味,但是对二次函数要求不算太高,重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题,自不必说,只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例1一样是双动点问题,所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的。题目给定MPQ=60,这个度数的意义在哪里?其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路.【解析】(1)证明:是等边三角形是中点 梯形是等腰梯形(2)解:在等边中, (这个角度传递非常重要,大家要仔
9、细揣摩) (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得的二次函数,很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值。接下来就变成了“给定PC=2,求PQC形状”的问题了。由已知的BC=4,自然看出P是中点,于是问题轻松求解。(3)解: 为直角三角形当取最小值时,是的中点,而以上三类题目都是动点问题,这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件,例如某边相等,某角固定时,将动态问题化为静态问题去求解。如果没有特殊条件,那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点,而是一些具体的图形时,思路是不是一样呢?接下来我们
10、看另外两道题.【例4】2010,门头沟,一模已知正方形中,为对角线上一点,过点作交于,连接,为中点,连接(1)直接写出线段与的数量关系;(2)将图1中绕点逆时针旋转,如图2所示,取中点,连接,你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明 (3)将图1中绕点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?(不要求证明)【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转45到旋转任意角度,要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说,两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将BEF旋转45之后,很多考生就想不到思路了。事实上,本题的核心条
11、件就是G是中点,中点往往意味着一大票的全等关系,如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接AG之后,抛开其他条件,单看G点所在的四边形ADFE,我们会发现这是一个梯形,于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法,自然想到过G点做AD,EF的垂线。于是两个全等的三角形出现了。(1) (2)(1)中结论没有发生变化,即证明:连接,过点作于,与的延长线交于点在与中, 在与中, 在矩形中, 在与中, 【思路分析2】第三问纯粹送分,不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立。但是我们不应该止步于此。将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因,如果BEF任意旋转,哪些量在变化,哪些量不变呢?如果
12、题目要求证明,应该如何思考。建议有余力的同学自己研究一下,笔者在这里提供一个思路供参考:在BEF的旋转过程中,始终不变的依然是G点是FD的中点。可以延长一倍EG到H,从而构造一个和EFG全等的三角形,利用BE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形,就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等,利用角度变换关系就可以得证了。(3)(1)中的结论仍然成立 【例5】(2010,朝阳,一模)已知正方形ABCD的边长为6cm,点E是射线BC上的一个动点,连接AE交射线DC于点F,将ABE沿直线AE翻折,点B落在点B 处(1)当=1 时,CF=_cm,(2)当=2 时,求sin
13、DAB 的值;CADB(3)当= x 时(点C与点E不重合),请写出ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式,(只要写出结论,不要解题过程)【思路分析】动态问题未必只有点的平移,图形的旋转,翻折(就是轴对称)也是一大热点。这一题是朝阳卷的压轴题,第一问给出比例为1,第二问比例为2,第三问比例任意,所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化,哪些条件没有发生变化。一般说来,翻折中,角,边都是不变的,所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系,所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。尤其注意的是,本题中给定的比例都是有两重情况的,E
14、在BC上和E在延长线上都是可能的,所以需要大家分类讨论,不要遗漏。【解析】(1)CF= 6 cm; (延长之后一眼看出,EAZY) (2) 如图1,当点E在BC上时,延长AB交DC于点M,图1 ABCF, ABEFCE, =2, CF=3 ABCF,BAE=F又BAE=B AE, B AE=F MA=MF设MA=MF=k,则MC=k -3,DM=9-k在RtADM中,由勾股定理得:k2=(9-k)2+62, 解得 k=MA= DM=(设元求解是这类题型中比较重要的方法)图2 sinDAB=; 如图2,当点E在BC延长线上时,延长AD交B E于点N,同可得NA=NE设NA=NE=m,则B N=12-m在RtAB N中,由勾股定理,得m2=(12-m)2+62, 解得 m=AN= B N=