《2020版创新设计高考总复习高三文科数学人教A版第十一章第2节.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版创新设计高考总复习高三文科数学人教A版第十一章第2节.pdf（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 2 节直接证明与间接证明 最新考纲1 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法和 综合法的思考过程和特点 2 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反 证法的思考过程和特点 知 识 梳 理 1 直接证明 内容综合法分析法 定义 利用已知条件和某些数学定 义 公理 定理等 经过一系 列的推理论证 最后推导出所 要证明的结论成立 从要证明的结论出发 逐步寻求使它 成立的充分条件 直到最后把要证明 的结论归结为判定一个明显成立的 条件 已知条件 定理 定义 公理 等 为止 实质由因导果执果索因 框图表示 P Q1 Q1 Q2 Qn Q Q P1 P1 P2 得到一个明显 成立的条
2、件 文字语言 因为 所以 或由 得 要证 只需证 即证 2 间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法 反证法是一种常用的间接证明方 法 1 反证法的定义 假设原命题不成立 即在原命题的条件下 结论不成立 经过正确 的推理 最后得出矛盾 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立的证明方法 2 用反证法证明的一般步骤 反设 假设命题的结论不成立 归谬 根 据假设进行推理 直到推出矛盾为止 结论 断言假设不成立 从而肯定原命题 的结论成立 微点提醒 1 分析法是执果索因 实际上是寻找使结论成立的充分条件 综合法是由因导果 就是寻找已知的必要条件 2 综合法与分析法都是直接证明的方法 反证法是
3、间接证明的方法 3 用反证法证题时 首先否定结论 否定结论就是找出结论的反面的情况 然后推出 矛盾 矛盾可以与已知 公理 定理 事实或者假设等相矛盾 基 础 自 测 1 判断下列结论正误 在括号内打 或 1 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充要条件 2 用反证法证明结论 a b 时 应假设 aQB P Q C PQ 只 需P 2 Q2 即 2a 13 2 a 6 a 7 2a 13 2 a 8 a 5 只需 a 2 13a 42 a2 13a 40 因为 42 40 成立 所以 P Q 成立 故选 A 参考答案 A 4 2019 昆明调研 若 a b c 为实数 且 a b 0
4、 则下列命题正确的是 A ac 2ab b2 C 1 a a b 解析a 2 ab a a b a b 0 a b0 a2 ab 又 ab b2 b a b 0 ab b2 由 得 a 2 ab b2 参考答案 B 5 2019 厦门月考 用反证法证明 若整系数一元二次方程ax 2 bx c 0 a 0 有 有理数根 那么 a b c 中至少有一个是偶数 用反证法证明时 下列假设正确的是 A 假设 a b c 都是偶数 B 假设 a b c 都不是偶数 C 假设 a b c 至多有一个偶数 D 假设 a b c 至多有两个偶数 解析 至少有一个 的否定为 都不是 故 B 正确 参考答案 B 6
5、 2019 合肥月考 下列条件 ab 0 ab0 b 0 a 0 b0成立 即 a b 不为 0 且同号即可 故 能使 b a a b 2 成立 参考答案 考点一综合法的应用典例迁移 例 1 经典母题 设 a b c 均为正数 且 a b c 1 证明 1 ab bc ca 1 3 2 a 2 b b 2 c c 2 a 1 证明 1 由 a 2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 得 a2 b2 c 2 ab bc ca 由题设得 a b c 2 1 即 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 所以 3 ab bc ca 1 即 ab bc ca 1 3 当且仅当 a
6、 b c 时等号成立 2 因为 a 2 b b 2a b 2 c c 2b c 2 a a 2c 当且仅当 a 2 b2 c2 时等号成立 故a 2 b b 2 c c 2 a a b c 2 a b c 则a 2 b b 2 c c 2 a a b c 所以 a 2 b b 2 c c 2 a 1 迁移探究 本例的条件不变 证明 a2 b2 c2 1 3 证明因为 a b c 1 所以 1 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 因为 2ab a2 b2 2bc b2 c2 2ac a2 c2 所以 2ab 2bc 2ac 2 a 2 b2 c2 所以 1 a2 b2 c
7、2 2 a2 b2 c2 即 a 2 b2 c2 1 3 规律方法1 综合法是 由因导果 的证明方法 它是一种从已知到未知 从题设 到结论 的逻辑推理方法 即从题设中的已知条件或已证的真实判断 命题 出发 经 过一系列中间推理 最后导出所要求证结论的真实性 2 综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理 训练 1 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 sin Asin B sin Bsin C cos 2B 1 1 求证 a b c 成等差数列 2 若 C 2 3 求证 5a 3b 证明 1 由已知得 sin AsinB sin Bsin C 2sin 2 B 因为 sin
8、 B 0 所以 sin A sin C 2sin B 由正弦定理 得 a c 2b 即 a b c 成等差数列 2 由 C 2 3 c 2b a及余弦定理得 2b a 2 a2 b2 ab 即有 5ab 3b2 0 所以 a b 3 5 即 5a 3b 考点二分析法 例 2 已知 a 0 证明 a2 1 a 2 2 a 1 a 2 证明要证a2 1 a 2 2 a 1 a 2 只要证 a2 1 a 2 2 a 1 a 2 因为 a 0 故只要证 a 2 1 a 2 2 2 a 1 a 2 2 即 a 2 1 a 2 4 a 2 1 a 2 4 a2 2 1 a 2 2 2 a 1 a 2 从而
9、只要证 2a 2 1 a 2 2 a 1 a 只要证 4 a 2 1 a 2 2 a 2 2 1 a 2 即 a 2 1 a 2 2 而上述不等式显然成立 故原不等式成立 规律方法分析法的证明思路 先从结论入手 由此逐步推出保证此结论成立的充 分条件 而当这些判断恰恰都是已证的命题 定义 公理 定理 法则 公式等 或 要证命题的已知条件时命题得证 训练 2 已知 a 5 求证 a 5 a 3 a 2 a 证明要证a 5 a 3 a 2 a 只需证a 5 a a 3 a 2 只需证 a 5 a 2 a 3 a 2 2 只需证 2a 5 2a2 5a 2a 5 2 a2 5a 6 只需证a2 5a
10、 a2 5a 6 只需证 a2 5a a2 5a 6 只需证 0 6 因为 0 6 恒成立 所以a 5 a 3 a 2 a成立 考点三反证法 例 3 设 an 是公比为 q 的等比数列 1 推导 an 的前 n项和公式 2 设 q 1 证明 数列 an 1 不是等比数列 1 解设 an 的前 n 项和为 Sn 则 Sn a1 a1q a1q2 a1qn 1 qSn a1q a1q 2 a1qn 1 a1qn 两式相减得 1 q Sn a1 a1qn a1 1 qn 当 q 1 时 Sn a 1 1 q n 1 q 当 q 1 时 Sn a1 a1 a1 na1 所以 Sn na1 q 1 a1
11、 1 q n 1 q q 1 2 证明假设数列 an 1 是等比数列 则 a1 1 a3 1 a2 1 2 即 a1a3 a1 a3 1 a2 2 2a2 1 因为 an 是等比数列 公比为 q 所以 a1a3 a 2 2 a2 a1q a3 a1q 2 所以 a1 1 q2 2a1q 即 q 2 2q 1 0 q 1 2 0 q 1 这与已知 q 1 矛盾 所以假设不成立 故数列 an 1 不是等比数列 规律方法1 适用范围 当一个命题的结论是以 至多 至少 唯一 或以否定形式出现时 宜用反证法来证 2 关键 在正确的推理下得出矛盾 矛盾可以是与已知条件矛盾 与假设矛盾 与定 义 公理 定理
12、矛盾 与事实矛盾等 推导出的矛盾必须是明显的 训练 3 若 f x 的定义域为 a b 值域为 a b a 2 使函数 h x 1 x 2是区间 a b 上的 四维光军 函 数 若存在 求出 a b 的值 若不存在 请说明理由 解 1 由题设得 g x 1 2 x 1 2 1 其图象的对称轴为 x 1 区间 1 b 在对称轴的 右边 所以函数在区间 1 b 上单调递增 由 四维光军 函数的定义可知 g 1 1 g b b 则1 2b 2 b 3 2 b 解得 b 1 或 b 3 因为 b 1 所以 b 3 2 假设函数 h x 1 x 2在区间 a b a 2 上是 四维光军 函数 因为 h
13、x 1 x 2在区间 2 上单调递减 所以有 h a b h b a 即 1 a 2 b 1 b 2 a 解得 a b 这与已知矛盾 故不存在常数 a b a 2 使函数 h x 1 x 2是 a b 上的 四维光军 函数 思维升华 分析法和综合法各有优缺点 分析法思考起来比较自然 容易寻找到解题的思路 和方法 缺点是思路逆行 叙述较繁 综合法从条件推出结论 较简捷地解决问题 但 不便于思考 实际证题时常常两法兼用 先用分析法探索证明途径 然后再用综合法 叙述出来 易错防范 1 用分析法证明时 要注意书写格式的规范性 常常用 要证 欲证 即 证 只需证 等 逐步分析 直到一个明显成立的结论 2
14、 在使用反证法证明数学命题时 反设必须恰当 如 都是 的否定是 不都是 至少一个 的否定是 不存在 等 基础巩固题组 建议用时 40 分钟 一 选择题 1 下列表述 综合法是由因导果法 综合法是顺推法 分析法是执果索因 法 分析法是逆推法 反证法是间接证法 其中正确的有 A 2 个B 3 个C 4 个D 5 个 解析由定义可知 都正确 选 D 参考答案 D 2 用反证法证明命题 三角形三个内角至少有一个不大于60 时 应假设 A 三个内角都不大于60 B 三个内角都大于60 C 三个内角至多有一个大于60 D 三个内角至多有两个大于60 解析 至少有一个 的否定是 一个都没有 故可以理解为都大
15、于60 参考答案 B 3 在 ABC 中 sin Asin C cos Acos C 则 ABC 一定是 A 锐角三角形B 直角三角形 C 钝角三角形D 不确定 解析由 sin Asin C0 即 cos A C 0 所以 A C 是锐角 从而 B 2 ABC 必是钝角三角形 故选 C 参考答案 C 4 分析法又称执果索因法 已知 x 0 用分析法证明1 x2 B x 2 4 C x 2 0 D x 2 1 解析因为 x 0 所以要证1 x 1 x 2 只需证 1 x 2 1 x 2 2 即证 00 因为 x 0 所以 x2 0 成立 故原不等式成立 故选 C 参考答案 C 5 若1 a 1
16、b 0 则下列结论不正确的是 A a 2 b2 B ab b 2 C a b a b 解析 1 a 1 ba b a2 b2 ab b2 a b40 6 7 22 5 参考答案 6 7 2 2 5 8 若二次函数 f x 4x 2 2 p 2 x 2p2 p 1 在区间 1 1 内至少存在一点 c 使 f c 0 则实数 p 的取值范围是 解析若二次函数 f x 0 在区间 1 1 内恒成立 则 f 1 2p 2 p 1 0 f 1 2p 2 3p 9 0 解得 p 3 或 p 3 2 故满足题干要求的p 的取值范围为 3 3 2 参考答案 3 3 2 三 解答题 9 已知 x y z是互不相等的正数 且 x y z 1 求证 1 x 1 1 y 1 1 z 1 8 证明因为 x y z 是互不相等的正数 且 x y z 1 所以 1 x 1 1 x x y z x 2 yz x 1 y 1 1 y y x z y 2 xz y 1 z 1 1 z z x y z 2 xy z 由 得 1 x 1 1 y 1 1 z 1 8 10 设数列 an 是公比为 q 的等比数列 Sn是它的前
