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1、1.3 全称量词与全称命题一、创设情境在前面的学习过程中,我们曾经遇到过一类重要的问题:给含有“至多、至少、有一个”等量词的命题进行否定,确定它们的非命题。大家都曾感到困惑和无助,今天我们将专门学习和讨论这类问题,以解心中的郁结。问题1:请你给下列划横线的地方填上适当的词一 纸;一 牛;一 狗;一 马;一 人家;一 小船分析:张头条匹户叶什么是量词?这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。汉语的物量词纷繁复杂,又有兼表形象特征的作用,选用时主要应该讲求形象性,同时要遵从习惯性,并注意灵活性。不遵守量词使用的这些原则,就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。二、活动尝试所有已知人类语言
2、都使用量化,即使是那些没有完整的数字系统的语言,量词是人们相互交往的重要词语。我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题,而是更多的给予它数学的意境。问题2:下列命题中含有哪些量词?(1)对所有的实数x,都有x20;(2)存在实数x,满足x20;(3)至少有一个实数x,使得x220成立;(4)存在有理数x,使得x220成立;(5)对于任何自然数n,有一个自然数s使得s=nn;(6)有一个自然数s使得对于所有自然数n,有s=nn;分析:上述命题中含有:“所有的”、“存在”、“至少”、“任何”等表示全体和部分的量词。三、师生探究命题中除了主词、谓词、联词以外,还有量词。命题的量词,表示的是主词数
3、量的概念。在谓词逻辑中,量词被分为两类:一类是全称量词,另一类是存在量词。全称量词:如“所有”、“任何”、“一切”等。其表达的逻辑为:“对宇宙间的所有事物x来说,x都是F。”例句:“所有的鱼都会游泳。”存在量词:如“有”、“有的”、“有些”等。其表达的逻辑为:“宇宙间至少有一个事物x,x是F。”例句:“有的工程师是工人出身。”含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。单称命题:其公式为“(这个)S是P”。例句:“这件事是我经办的。”单称命题表示个体,一般不需要量词标志,有时会用“这个”“某个”等。在三段论中是作为全称命题来处理的。全称命题:其公式为“所有S是P”。例句:“所有产品
4、都是一等品”。全称命题,可以用全称量词,也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达,甚至有时可以没有任何的量词标志,如“人类是有智慧的。”特称命题:其公式为“有的S是P”。例句:“大多数学生星期天休息”。特称命题使用存在量词,如“有些”、“很少”等,也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。含有存在性量词的命题也称存在性命题。问题3:判断下列命题是全称命题,还是存在性命题?(1)方程2x=5只有一解;(2)凡是质数都是奇数;(3)方程2x21=0有实数根;(4)没有一个无理数不是实数;(5)如果两直线不相交,则这两条直线平行;(6)集合AB是集合A的子集;分析:(1)存在性命题;
5、(2)全称命题;(3)存在性命题;(4)全称命题;(5)全称命题;(6)全称命题;四、数学理论1开语句:语句中含有变量x或y,在没有给定这些变量的值之前,是无法确定语句真假的这种含有变量的语句叫做开语句。如,x2,x-5=3,(x+y)(x-y)=0.2表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。量词可分两种:(1)全称量词日常生活和数学中所用的“一切的”,“所有的”,“每一个”,“任意的”,“凡”,“都”等词可统称为全称量词,记作、等,表示个体域里的所有个体。(2)存在量词日常生活和数学中所用的“存在”,“有一个”,“有的”,“至少有一个”等词统称为存在量词,记作,等,表示个体域里有的个体。3
6、含有全称量词的命题称为全称命题,含有存在量词的命题称为存在性命题。全称命题的格式:“对M中的所有x,p(x)”的命题,记为:存在性命题的格式:“存在集合M中的元素x,q(x)”的命题,记为:注:全称量词就是“任意”,写成上下颠倒过来的大写字母A,实际上就是英语any中的首字母。存在量词就是“存在”、“有”,写成左右反过来的大写字母E,实际上就是英语exist中的首字母。存在量词的“否”就是全称量词。五、巩固运用例1判断以下命题的真假:(1) (2) (3) (4)分析:(1)真;(2)假;(3)假;(4)真;例2指出下述推理过程的逻辑上的错误:第一步:设a=b,则有a2=ab第二步:等式两边都
7、减去b2,得a2-b2=ab-b2第三步:因式分解得(a+b)(a-b)=b(a-b)第四步:等式两边都除以a-b得,a+b=b第五步:由a=b代人得,2b=b第六步:两边都除以b得,2=1分析:第四步错:因a-b0,等式两边不能除以a-b第六步错:因b可能为0,两边不能立即除以b,需讨论。心得:(a+b)(a-b)=b(a-b)a+b=b是存在性命题,不是全称命题,由此得到的结论不可靠。同理,由2b=b2=1是存在性命题,不是全称命题。例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题,如果是,用量词符号表达出来。(1)中国的所有江河都注入太平洋;(2)0不能作除数;(3)任何一个实数除以1,仍等于这个实数;(4)每一个向量都有方向;分析:(1)全称命题,河流x中国的河流,河流x注入太平洋;(2)存在性命题,0R,0不能作除数;(3)全称命题,xR,;(4)全称命题,有方向;六、回顾反思要判断一个存在性命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在性命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假。要判断一个全称命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称命题为假时,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假。即全称命题与存在性命题之间有可能转化,它们之间并不是对立的关系。