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1、3.2 均值不等式 教案教学目标：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理.利用均值定理求极值.了解均值不等式在证明不等式中的简单应用教学重点：推导并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这个重要定理 利用均值定理求极值教学过程一、复习：1、复习不等式的性质定理及其推论1：abbb,bcac(或cb,bacba+cb+c(或aba+ccac-b(移项法则)(2)：ab,cda+cb+d4、若ab,且c0，那么acbc；若ab,且c0，那么acb0,且cd0，则acbd(2)、若ab0,则anbn (n,且n1)(3)、若ab0,则 (n,且n1)2、定理变式：
2、如果a,bR，那么a2+b22ab（当且仅当a=b时，等号成立）3、均值定理：如果a,b是正数，那么证明：，即显然，当且仅当说明：）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数）成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数）“当且仅当”的含义是等价3均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD,那么，即这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立应用例题：例1、已知a、b、c
3、R，求证： 不等式的左边是根式，而右边是整式，应设法通过适当的放缩变换将左边各根式的被开方式转化为完全平方式，再利用不等式的性质证得原命题。例2、若，则本题若用求差法证明，计算量较大，难以获得成功，注意到a , b , cR，从结论的特点出发，均值不等式，问题是不难获证的。例3、已知为两两不相等的实数，求证：证明： 以上三式相加：例4、已知a,b,c,d都是正数，求证：分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识证明：a,b,c,d都是正数，ab0，cd0，ac0，bd0得 由不等式的性质定理4的推论1，得即归纳小结定理：如果a,b是正数，那么2、利用均值定理求最值应注意：“正”，“定”，“等”，灵活的配凑是解题的关键。
