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1、基本不等式-知识探究1.已知某种商品的定价上涨x成(1成即为,x成即为),其销售量便相应减少x成.按规定,税金是从销售额中按一定的比例缴纳,如果这种商品的定价无论如何变化,从销售额中扣除税金后的金额总比涨价前的销售额少,试求这时税率p的取值范围(精确到0.1%).解:设原定价为a元/件,原销售量为b件,则原销售额为ab元,由已知得a(1+)b(1-)(1-p)0.0p0.对任意实数x,不等式(1-p)x2-10(1-p)x+200p0恒成立,=100(1-p)2-4(1-p)200p=100(9p2-10p+1)0. 解之,得p1. 故11.1%p1, 即税率p的取值范围是(11.1%,1).
2、2.某单位为了职工的住房问题,计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为30 000平方米的宿舍楼(每层的建筑面积相同).已知土地的征用费为2 250元/平方米,土地的征用面积为第一层的1.5倍.经工程技术人员核算,第一层的建筑费用为400元/平方米,以后每增高一层,该层建筑费用就增加30元/平方米.试设计这幢宿舍楼的楼高层数,使总费用最少,并求出其最少费用.(总费用为建筑费用和征地费用之和)解:设楼高为n层,总费用为y万元,则征地面积为平方米,征地费用为2 250万元, 各楼层建筑费用总和为400n+30万元. 总费用为y=400n+30+2 250=15(3n+77)15(2+77)=2 505(
3、万元). 当且仅当3n=,即n=15时,上式取等号. 故这幢宿舍楼的楼高层数为15时,总费用最少为2 505万元.3.要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格,每根钢管可同时得三种规格的短钢管的根数如下表所示:规格类型 钢管类型A规格B规格C规格甲种钢管214乙种钢管231今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根,问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管,且使用钢管根数最少?解:设需截甲种钢管x根、乙种钢管y根,两种钢管总数为z. 依题意,知线性约束条件为 目标函数z=x+y. 作出可行域如下图所示. 作出一组平行线x+y=t(t为参数),其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线为经过直线4x+y=18与直线x+3y=16的交点A(,)的直线,此时z=x+y=最大,但是x=,y=都不是整数, 所以可行域内的点(,)不是最优解. 经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=8, 经过的整数点为(4,4),它才是最优解. 答:要截得所需三种规格的钢管,且使钢管根数最少的方法是截甲种钢管和乙种钢管各4根.
