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1、第3讲 函数的奇偶性及周期性1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(6)的值为( ) A.-1B.0C.1D.2 【答案】 B 【解析】 f(x+2)=-f(x), f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)=-f(0). 又f(x)为R上的奇函数,f(0)=0. f(6)=0. 2.函数sinR),若f(a)=2,则f(-a)的值为( ) A.3B.0C.-1D.-2 【答案】 B 【解析】 设sinx,很明显g(x)是一个奇函数. f(x)=g(x)+1. f(a)=g(a)+1=2, g(a)=1. g(-a)=-1.f(-a)=g(-a)+1=-1+1=
2、0. 3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,并满足f(x+2)=当时,f(x)=x-2,则f(6.5)等于 ( ) A.4.5B.-4.5C.0.5D.-0.5 【答案】 D 【解析】 由f(x得f(x那么f(x)的周期是4,得f(6.5)=f(2.5). 因为f(x)是偶函数,得f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而时,f(x)=x-2, 所以f(1.5)=-0.5. 综上,知f(6.5)=-0.5. 4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x0时,f(x)=1-则不等式的解集是( ) A.B. C.D. 【答案】 A 【解析】 当x0时故此时f(x)的解集为. 当x0,f(.
3、 又f(x)为R上的奇函数, f(-x)=-f(x). . 即. x0D.f(x)-f(-x)0 【答案】 A 【解析】 f(-x)=-f(x), f(x)f(. 2.(2020山东济南月考)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( ) y=f(|x|);y=f(-x);y=xf(x);y=f(x)+x. A.B.C.D. 【答案】 D 【解析】 由奇函数的定义验证可知正确. 3.在R上定义的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x),若f(x)在区间1,2上是减函数,则f(x)( ) A.在区间-2,-1上是增函数,在区间3,4上是增函数 B.在区间-2,-1上是
4、增函数,在区间3,4上是减函数 C.在区间-2,-1上是减函数,在区间3,4上是增函数 D.在区间-2,-1上是减函数,在区间3,4上是减函数 【答案】 B 【解析】 由f(x)=f(2-x)知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,作出函数的简图如下. 4.f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 ( ) A.2B.3 C.4D.7 【答案】 D 【解析】 f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数, f(5)=f(2)=0,f(-1)=f(2)=0, 则-f(1)=0,即f(1)=0;f(4)=f(1)=0. 又f(0)=0,
5、f(3)=f(0)=0,f(1.5)=f(-1.5)=-f(1.5). f(1.5)=0,则f(4.5)=f(1.5)=0,因此在区间(0,6)上,f(1)=f(1.5)=f(2)=f(3)=f(4)=f(4.5)=f(5)=0,解的个数的最小值为7. 5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间0,2上是增函数,则( ) A.f(-25)f(11)f(80) B.f(80)f(11)f(-25) C.f(11)f(80)f(-25) D.f(-25)f(80)0, f(x)在-2,0上也是增函数,且f(x)0,且f(x)为减函数, 同理f(x)在4,6上为减函数且
6、f(x)0.如图. f(-25)=f(-1)0,f(80)=f(0)=0, f(-25)f(80)f(2)B.f(-1)f(2),即f(-1)f(2). 7.已知函数3是偶函数,则m= . 【答案】 -2 【解析】 本题考查了函数的奇偶性.f(x)为偶函数,则m+2=0,m=-2. 8.函数f(x)在R上为奇函数,且x0时则当x0时 当x0, f(x)=-f(-x 即x0时. 9.若函数f(x)=log是奇函数,则a= . 【答案】 【解析】 f(x)是奇函数,f(0)=0,即log|a|)=0. 则|a|=1,且因此. 10.已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数,若F(x)=af(x
7、)+(x)+2,且F(-2)=5,则F(2)= . 【答案】 -1 【解析】 f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数, f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x). F(2)+F(-2)=af(2)+(2)+2+af(-2)+(-2)+2=af(2)+(2)+2-af(2)-(2)+2=4. 又F(-2)=5,F(2)=4-F(-2)=4-5=-1. 11.已知函数f(x)= 是奇函数. (1)求实数m的值; (2)若函数f(x)在区间-1,a-2上单调递增,求实数a的取值范围. 【解】 (1)设x0, 所以f(-x)=. 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x). 于是x0时 所
8、以m=2. (2)要使f(x)在-1,a-2上单调递增, 结合f(x)的图象知 所以故实数a的取值范围是(1,3. 12.已知函数. (1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若f(1)=2,试判断f(x)在上的单调性. 【解】 (1)当a=0时x),函数f(x)是偶函数. 当时常数R), 取得f(-1); f(-1)-f . 函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)若f(1)=2,即1+a=2,解得a=1,这时. 任取且. 则 . 由于且 . . 故f(x)在上是单调递增函数. 13.函数是定义在(-1,1)上的奇函数,且. (1)确定函数f(x)的解析式; (2)用定义证明f(
9、x)在(-1,1)上是增函数; (3)解不等式f(t-1)+f(t)0. 【解】 (1)依题意得 即 . (2)证明:任取 . . 又 . . f(x)在(-1,1)上是增函数. (3)f(t-1)-f(t)=f(-t). f(x)在(-1,1)上是增函数, -1t-1-t0时,f(x)1. (1)求证:g(x)=f(x)-1为奇函数; (2)求证:f(x)是R上的增函数; (3)若f(4)=5,解不等式. 【解】 (1)证明:定义在R上的函数f(x)对任意的R,都有成立, 令则f(0+0)=f(0)f(0)=1. 令 则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1, f(x)-1+f(-x)-1=0. g(x)=f(x)-1为奇函数. (2)证明:由(1)知,g(x)=f(x)-1为奇函数, f(-x)-1=-f(x)-1. 任取R,且则 . 当x0时,f(x)1, . . f(x)是R上的增函数. (3)且f(4)=5, f(4)=f(2). 由不等式得f(2), 由(2)知,f(x)是R上的增函数, . . 不等式的解集为.
