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1、 第3讲 圆的方程随堂演练巩固1.点P(2,-1)为圆内弦AB的中点,则直线AB的方程是( ) A.x-y-3=0B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0D.2x-y-5=0 【答案】A 【解析】因为过圆心和点P的直线垂直于弦AB所在的直线,设圆心C(1,0),直线CP、AB的斜率分别为、则即所以. 又直线AB过点P(2,-1),所以直线AB的方程为y+1=x-2,即x-y-3=0. 2.已知点O(0,0),A(6,0),B(0,8),C(5,8),下列判断正确的是( ) A.O、A、B、C四点共圆,且圆的半径为5 B.O、A、B、C四点不共圆,点C在过O、A、B三点的圆外 C.O、A、B、C
2、四点不共圆,点C在过O、A、B三点的圆内 D.O、A、B、C四点共圆,且圆的半径为 【答案】C 【解析】由于 过O、A、B三点的圆以AB长为直径. 圆心M(3,4),半径r=. 的方程为. 由于 点C(5,8)在的内部. 3.由直线y=x+1上的一点向圆引切线,则切线长的最小值为( ) A.1B.C.D.3 【答案】C 【解析】如图所示,设直线上一点P,由P所引圆的切线的切点为Q,圆心为M,则|PQ|即为切线长,MQ为圆M的半径,长度为1,|PQ| 要使|PQ|最小,即求|PM|的最小值,此题转化为求直线y=x+1上的点到圆心M的最小距离,设圆心到直线y=x+1的距离为d, 则 |PM|的最小
3、值为. |PQ|. 4.若圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),则圆C的方程为 . 【答案】 【解析】圆心是AB的垂直平分线和直线2x-y-7=0的交点,则圆心为E(2,-3),r=|EA|故圆的方程为. 课后作业夯基基础巩固1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程是( ) A. B. C.D. 【答案】A 【解析】设圆的圆心为C(0,b),则 b=2.圆的标准方程是. 2.若方程表示圆,则a的值是( ) A.-1B.2C.-1或2D.1 【答案】A 【解析】当方程表示圆时,. 方程可转化为. 若方程表示圆,则有 即 也即a=-1时方程表
4、示圆. 3.已知圆的方程为0,那么下列直线中经过圆心的直线的方程为( ) A.2x-y+1=0B.2x-y-1=0 C.2x+y+1=0D.2x+y-1=0 【答案】C 【解析】圆的方程可化为圆心为(1,-3),而(1,-3)满足2x+y+1=0. 直线2x+y+1=0过圆心. 4.已知两点A(-1,0),B(0,2),点P是圆上任意一点,则PAB面积的最大值与最小值分别是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图,圆心(1,0)到直线AB:2x-y+2=0的距离为故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是最小值是. 又|AB|故PAB面积的最大值和最小值分别是. 5.若两条直线y=
5、x+2a,y=2x+a的交点P在圆的内部,则实数a的取值范围是( ) A.B.a1或 C.D.或 【答案】A 【解析】由 得P(a,3a), .故应选A. 6.若圆的圆心到直线x-y-a=0的距离为则a的值为( ) A.-2或2B.或 C.-2或0D.2或0 【答案】C 【解析】圆的圆心(1,2)到直线x-y-a=0的距离为.a=-2或a=0,选C. 7.已知圆C的方程为.设过点(3,5)的直线l将圆C分成两段弧,当其中的劣弧最短时,直线l被圆C截得的弦长为( ) A.B.C.D. 【答案】B 【解析】依题意知劣弧最短时,弦长最短,故过点(3,5)的最短弦长为选B. 8.设A为圆上的动点,PA
6、是圆的切线且|PA|=1,则P点的轨迹方程是( ) A.B. C.D. 【答案】B 【解析】作图可知圆心(1,0)到P点距离为所以P在以(1,0)为圆心,以为半径的圆上,其轨迹方程为. 9.已知圆C:0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0的对称点都在圆C上,则a= . 【答案】-2 【解析】由题意,知直线x-y+2=0需经过圆心,所以从而有a=-2. 10.已知M是圆C:上的动点,点N(2,0),则MN的中点P的轨迹方程是 . 【答案】 【解析】设P(x则 点P的轨迹方程是. 11.已知直线:4x+y=0,直线:x+y-1=0以及上一点P(3,-2).求圆心C在上且与直线相切于点P
7、的圆的方程. 【解】设圆心为C(a,b),半径为r,依题意,得b=-4a. 又直线的斜率 过P,C两点的直线的斜率 解得a=1,b=-4,r=|PC|. 故所求圆的方程为. 12.如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆上的动点,连接BC并延长至D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程. 【解】设动点P(x,y),由题意可知P是ABD的重心. 由A(-1,0),B(1,0),令动点则由重心坐标公式: 则 代入整理得 所求轨迹方程为. 13.已知圆M过两点C(1,-1),D(-1,1),且圆心M在x+y-2=0上. (1)求圆M的方程; (2)设P是直线3x+4y+8
8、=0上的动点,PA、PB是圆M的两条切线,A、B为切点,求四边形PAMB面积的最小值. 【解】 (1)设圆M的方程为. 根据题意,得 解得a=b=1,r=2, 故所求圆M的方程为. (2)因为四边形PAMB的面积|AM|PA|BM|PB|, 又|AM|=|BM|=2,|PA|=|PB|, 所以S=2|PA|, 而|PA| 即. 因此要求S的最小值,只需求|PM|的最小值即可, 即在直线3x+4y+8=0上找一点P,使得|PM|的值最小,所以|PM|. 所以四边形PAMB面积的最小值为S=. 拓展延伸14.已知方程0表示一个圆. (1)求t的取值范围; (2)求该圆半径的取值范围; (3)当t在上述范围内变化时,求该圆圆心的轨迹方程. 【解】(1)方程表示圆的充要条件是+4(1-解得t1,即t的取值范围是t|. (2)圆的方程可化为x- 所以. 因此. (3)设圆心P的坐标为则 消去参数t得. 因此圆心P的轨迹方程为y=4(x-x4).
