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1、1.1集合与集合的表示方法一.课标解读1.普通高中数学课程标准明确指出：“通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的”属于”关系；能选择自然语言.图形语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题感受集合语言的意义和作用.”2.重点:集合的概念与表示方法.3.难点:运用集合的两种常用表示法-列举法与描述法,正确表示一些简单的集合.二.要点扫描1.集合的概念一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）；构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。集合的元素可以是我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或者一些抽象符号。2.集合元
2、素的特征由集合概念中的两个关键词“确定的”、“不同的”可以知道集合元素有两大特征性质：确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。设集合给定，若有一具体对象，则要么是的元素，要么不是的元素，二者必居其一，且只居其一。互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。设集合给定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。3.集合与元素之间的关系集合与元素之间只有“属于”或“不属于”。例如：是集合的元素，记作，读作“属于”；不是集合的元素，记作，读作“不属于”。4.集合的分类集合按照元素个数可以分为有限集和无限集。特殊地，不含任何元素的
3、集合叫做空集，记作。5.集合的表示方法列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。特征性质描述法是用确定的条件描述集合内元素特点的集合表示方法。例如：集合可以用它的特征性质描述为，这表示在集合中，属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质。 除此之外，集合还常用韦恩图来表示，韦恩图是用封闭曲线内部的点来表示集合的方法（有时，也用小写字母分别定出集合中的某些元素），同学们在下节课中会接触到这个内容。三.知识精讲知识点1.集合与元素一个东西是集合还是元素并不是绝对的，很多情况下是相对的，集合是由元素组成的集合，元素是组成集合的元素。例如：你所在的班
4、级是一个集合，是由几十个和你同龄的同学组成的集合，你相对于这个班级集合来说，是它的一个元素；而整个学校又是由许许多多个班级组成的集合，你所在的班级只是其中的一分子，是一个元素。班级相对于你是集合，相对于学校是元素，参照物不同，得到的结论也不同，可见，是集合还是元素，并不是绝对的。知识点2.区分、与是空集，是不含任何元素的集合；不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，而非不含任何元素，所以；也不是空集，而是单元素集合，只有一个元素，可见，这也体现了“是集合还是元素，并不是绝对的”。知识点3.解集合问题的关键解集合问题的关键：弄清集合是由哪些元素所构成的，也就是将抽象问题具体化、形象化，将特征性质
5、描述法表示的集合用列举法来表示，或用韦恩图来表示抽象的集合，或用图形来表示集合，比如用数轴来表示集合，或是集合的元素为有序实数对时，可用平面直角坐标系中的图形表示相关的集合等。四.典题解悟-基础在线-题型一集合的判断集合元素的特征：确定性特征：集合中的元素必须是明确的，不允许出现模棱两可、无法断定的陈述。设集合给定，若有一具体对象，则要么是的元素，要么不是的元素，二者必居其一，且只居其一。互异性特征：集合中的元素必须是互不相同的。设集合给定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的对象归于同一集合时只能算集合的一个元素。例1、 “难解的题目;方程;平面直角坐标系内第四象限的一些点;很多多项式
6、”中，能组成集合的是( )。. . . . 解析: 解这类题目要从集合元素的特征-确定性、互异性-出发。不符合集合元素的确定性特征。答案: 例2、下列命题正确的个数为( )。 很小两实数可以构成集合； 与是同一集合 这些数组成的集合有5个数； 集合是指第二、四象限内的点集；.个 .个 .个 .个解析:中的元素不符合集合元素的确定性，不对； 先看 “|”左边描述的元素，第一个集合是函数的值域，第二个集合是点集，所以不是同一集合； 根据集合元素的互异原则：，所以集合有3个数，不对；先看 “|”左边描述的元素，集合是点集，再看“|”右边规定的元素的公共属性，第二、四象限内的点集的公共属性应为，包括了
7、坐标轴上的点，也不对；答案: A例3、则中的元素应满足什么条件？解析:根据集合中元素具有的互异性可知，该集合中的元素应满足，解不等式组即得答案。答案: 题型二 集合与元素之间的关系集合与元素之间只有“属于”或“不属于”。例4、下列表述是否正确，说明理由。全体整数实数集解析:“ ”是集合符号，包含了“所有”“全体”“全部”“集”等含义，因而这些词语不能再出现在大括号内；而表示以实数集为元素的集合，它与的关系是。答案: 整数，实数。题型三 集合的表示方法（1）列举法是把元素不重复、不计顺序的一一列举出来的方法，非常直观，一目了然。（2）特征性质描述法：集合可以用它的特征性质描述为，这表示在集合中，
8、属于集合的任意一个元素都具有性质，而不属于集合的元素都不具有性质。 例5、用列举法表示下列集合： ；用特征性质描述法表示下列集合所有正偶数组成的集合 ；被9除余2的数组成的集合 。解析：首先搞清楚组成集合的元素是什么，然后再选择适当的方法表示集合。答案：；例6、指出下列集合的元素：； ；。解析：分析一个集合，首先要看“|”左边，左边的记号表示元素；再看“|”右边，右边规定了元素的公共属性，尤其是本题的第、小题，的元素是函数的自变量，的元素是函数的函数值，虽然共同属性都是满足一个函数关系式，但表示函数的定义域，却表示函数的值域，一定要理解清楚它们的各自含义。答案：元素所满足的共同属性为,元素易错
9、点所满足的共同属性为，,故元素是有实根的一元二次方程；元素所满足的共同属性为，即函数中自变量所能取到的实数的全体，也就是该函数的定义域，化简后为，故元素为函数的定义域中的所有实数；元素所满足的共同属性为，即函数中函数值所能取到的实数的全体，也就是该函数的值域，化简得到，所以元素为函数的值域中的所有实数。-拓展一步-1集合与方程。例7、若方程的解集是求.的值。解析:由解集是可知这是个二次方程，即，由韦达定理，解得答案:2用数形结合的思想解集合问题。例8、求集合与集合有公共元素的的取值范围。解析:集合即为不等式的解集，是大于的所有实数；集合即为不等式的解集，是小于的所有实数，在数轴上表示出两个集合
10、，可见，若要两个集合有公共部分，必须。答案: 。3 注意中集合元素形式的转化。例9、若， 则 。（填“”或“”）解析:对进行分母有理化,，令，则。答案: -错解点击-例10方程组的解集是( )。.(-3,0) .-3,0 .(-3,0) .(0,-3)错解：正解：分析：首先解这个方程组，得到一组解，注意到题目中要求写出解集，即解的集合，按照集合的表示方法，一定要用大括号，所以不对；集合的元素是方程组的解，是有序数对，须加小括号。例11下列四个关系中，正确的是( )。. . . .错解：正解：分析：首先，选项中， 易错点是空集，是不含任何元素的集合，而不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，所以
11、；选项中是空集， 是以一个为元素的单元素集合，这两个集合之间没有“属于”或“不属于”的关系； 选项中、这两个集合之间同样没有“属于”或“不属于”的关系；选项中是集合，同时也是的一个元素，所以是正确的。例12下列各题中与表示同一集合的是( )。. .错解：正解：分析：选项中集合、的元素都是有序数对，而，；选项中是空集，是不含任何元素的集合，而不是空集，它是以一个为元素的单元素集合，；选项中集合是函数的值域，集合是函数图像上的所有点的集合，同样；选项中集合、分别是函数和函数的值域，这两个函数值域相同，此题选。五.同步自测-双基训练1. 下面四个命题正确的是（ ）以内的质数集合是 “个子较高的人”不
12、能构成集合方程的解集是 偶数集为 2.下列关系正确的是 （ ） ZQ (2,1)(2,1) NR 2(2,1)3.已知Ax| x3,xR，a=, b=2, 则（ ）aA且bA aA且bA aA且bA aA且bA4.下列集合中，不同于另外三个的是（ ） 5. 下面命题： 2，3，4，2是由四个元素组成的；集合0表示仅一个数“零”组成的集合；集合1，2，4与4，1，2是同一集合；集合小于1的正有理数是一个有限集。其中正确的是（ ） 6.集合面积为的矩形，面积为的正三角形，则正确的是（ ）A.都是无限集B.都是有限集 C.是有限集是无限集D.是有限集是无限集 7.用列举法表示集合： ；8.用描述法写出直角坐标系中，不在坐标轴上的点的坐标组成的集合 ；9.设都是非零的实数， 则的值组成的集合的元素个数为 ；10. 集合中的元素所应满足的条件是 ；11.若集合有且只有一个元素，则实数的取值集合是 ；12.设直线上的点集为，则
