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1、例谈数学归纳法一、要点扫描1数学归纳法证题步骤 (1)证明当取第一个值时命题成立; (2)假设时命题成立,证明当时命题也成立。其中第一步是命题成立的基础,称为“归纳奠基”;第二步解决的是延续性问题,又称“归纳递推”。运用数学归纳法证明有关问题应注意以下几点: 两个步骤缺一不可; 在第一步中,的初始值不一定以1取起,也不一定只取一个数(有时需取等),证明应视具体情况而定; 第二步中证明时,必须使用归纳假设,否则就会打破数学归纳法步骤间的严密逻辑关系,造成推理无效。 证明成立时,要明确求证的目标形式,一般要凑出归纳假设里给出的形式,以便使用归纳假设,然后再去凑出当时的结论,这样就能有效减少论证的盲
2、目性。 2运用数学归纳法时易犯的错误 (1)对项数估算的错误,特别时寻找与的关系时,项数发生什么变化被弄错。 (2)没有利用归纳假设,归纳假设是必须要用的,假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了。 (3)关键步骤含混不清,“假设时结论成立,利用此假设证明时结论也成立”,是数学归纳法的关键一步,也是证明问题最重要的环节,对推导的过程要把步骤写完整,注意证明过程的严谨性、规范性。 二、范例剖析 例1 用数学归纳法证明。 分析:要证等式的左边共项,右边共项,与相比左边增二项,右边增一项,而且左、右两边的首项不同。因此,由“”到“”时要注意项的合并。 证明:(1)当时,左边,右边,命题成立。 (2)
3、假设当时命题成立,即 那么当时,左边 。 上式表明,当时命题也成立。 由(1)和(2)知,命题对一切自然数均成立。 评注:用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题,关键在于“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与的取值是否有关,由到时,等式两边会增加多少项。例2 比较与的大小() 分析:我们可从特例入手,探求与的大小关系。 解析:当时,即; 当时,即; 当时,即; 当时,即; 当时,即; 当时,即; 猜测:当时,。 下面用数学归纳法证明猜测成立。 (1)当时,由上式可知猜测成立。 (2)当时,命题成立,即, ,即当时命题也成立。 由(1)和(2)可知,当时,。 评注:应用数学归纳法证题时,第一个步骤中的初始值是使命题成立的最小自然数,这个自然数不一定是1。例3 用数学归纳法证明:能被17整除。 分析:用用数学归纳法证整除性问题,关键是由配凑出的部分。 证明:(1)当时,故能被17整除。 (2)设时,命题成立,即能被17整除,则 当时,。 由归纳假设可知,能被17整除,又显然可被17整除,故能被17整除。 由可知,对任意正整数,能被17整除。 评注:整除性问题的数学归纳法的证明,其关键是配凑,而配凑的方法很多,其关键是之假定的运用。