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1、3.4 生活中的优化问题举例【成功细节】（2020年重庆市文科20题） 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？本节主要研究导数在实际生活中的应用，在学习时，我认为应该注意以下几个方面的细节：（1）要细致分析实际问题中各个量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量与自变量，把实际问题转化为数学问题，即列出函数解析式，根据实际问题确定函数的定义域；（2要熟练掌握应用导数法求函数最值的步骤，细心运算，正确合理地做答；（3）求实际问题的最值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的理论值
2、应予舍去；（4）在实际问题中，有常常仅解到一个根，若能判断函数的最大（小）值在的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大（小）值。如，本题主要考查长方体体积的计算以及用导数解决最值问题，可设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.故长方体的体积为从而令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0x1时，V（x）0；当1x时，V（x）0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积VV（x）912-613（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3
3、 m3。【粗读概括】1.认真阅读教材中的例题,从中提炼解答优化问题的解题步骤.【高效预习】（核心栏目）【关注.思考】1.了解优化问题的类型；2.实际问题中为什么极值点一般就是最值点.【学习细节】（核心栏目）A基础知识一、利用导数解决生活中的优化问题【情景引入】 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题【例题1】 海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边
4、各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 【引导】 先建立目标函数，然后利用导数求最值. 解：设版心的高为xdm，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为 。 求导数，得。令，解得舍去）。于是宽为。当时，0.因此，是函数的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。【思考】在课本例1中，“是函数的极小值点，也是最小值点。”为什么？是否还有别的解法？【探究】在实际问题中，由于=0常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大（小）值在的变化区间内部得到，则这个根处的极大
5、（小）值就是所求函数的最大（小）值。由课本例1可得，。，。【例题2】 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】 某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料瓶子的制造成本是 分，其中 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm问题：（）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？【引导】 先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.解：由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料
6、的利润是 令 解得 （舍去）当时，；当时，当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；当半径时， 它表示单调递减，即半径越大，利润越低（1）半径为cm 时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值（2）半径为cm时，利润最大【引导】我们已经求出利润和瓶子半径之间的关系式：。图象如图，能否根据它的图象说出其实际意义？【探究】当时，为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为cm 时，利润最小；当时，为增函数，其实际意义为：瓶子的半径大于2cm时，瓶子的半径越大，利润越大。特别的，当时，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶
7、的成本恰好相等， 时，利润才为正值当 时，即瓶子的半径为2cm时，饮料的利润最小，饮料利润还不够饮料瓶子的成本，此时利润是负值。 【例题2】 磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于，每比特所占用的磁道长度不得小于。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。问题：现有一张半径为的磁盘，它
8、的存储区是半径介于与之间的环形区域（1） 是不是越小，磁盘的存储量越大？（2） 为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解：由题意知：存储量=磁道数每磁道的比特数。 设存储区的半径介于与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量 （1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小，磁盘的存储量越大（2）为求的最大值，计算令，解得当时，；当时，因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为【思考】根据以上三个例题，
9、总结用导数求解优化问题的基本步骤.【总结】（1）认真分析问题中各个变量之间的关系，正确设定最值变量与自变量，把实际问题转化为数学问题，列出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；关键细节 由问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较（2）求，解方程，得出所有实数根；（3）比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据问题的实际意义确定函数的最大值或最小值。思维拓展：1导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几种类型：（1）与几何（长度、面积、体积等）有关的最值问题；（2）与物理学有关的最值问题
10、；（3）与利润及其成本（效益最大、费用最小等）有关的最值问题；（4）效率最值问题。2.利用导数解决优化问题的基本思路：【例4】10.某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达到100人的团体，每人收费1000元。如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过180人，如何组团可使旅行社的收费最多? (不到100人不组团)【解析】先列出问题的文字模型(标准收费数-降低的收费数),再转化为数学模型.【答案】设参加旅游的人数为x，旅游团收费为y则依题意有=1000-5（-100） （100180），令得=150。又， ，所以当参加人数为150人时，旅游团的收费
11、最高，可达112500元。B综合拓展例1 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为:p=24200x2,且生产x t的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?解析：利润=收入成本，列出利润的函数关系式，利用导数解决优化问题.答案: 每月生产吨时的利润为 由解得：或（舍去）因为在内只有一个点使得，故它就是最大值点，且最大值为： ，故它就是最大值点，且最大值为：（元）答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.例2 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q
12、，价格p与产量q的函数关系式为求产量q为何值时，利润L最大？分析：利润L等于收入R减去成本C，而收入R等于产量乘价格由此可得出利润L与产量q的函数关系式，再用导数求最大利润解：收入，利润令，即，求得唯一的极值点答：产量为84时，利润L最大例3 甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3元和5元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？解析：根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形的特征，合理选择这些条件间的
13、联系方式，适当选定变元，构造相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置答案: 解法一 根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点x km, 则 BD=40,AC=50,BC=又设总的水管费用为y元，依题意有：=3(50x)+5y=3+,令y=0,解得=30在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在=30(km)处取得最小值，此时AC=50=20(km)供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省.解法二：设BCD=,则BC=,CD=, 设总的水管费用为f(),依题意，有()=3(5040cot)+
14、5=150+40()=40令()=0,得cos=根据问题的实际意义，当cos=时，函数取得最小值，此时sin=,cot=,AC=5040cot=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省._x_x_60_60xx例4 在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？解析：先建立起目标函数，再求最值.答案 解法一：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积 令 0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得V(40)=16 000由题意可知，当x过小（接近0
15、）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm3解法二：设箱高为xcm，则箱底长为(60-2x)cm，则得箱子容积（后面同解法一，略）由题意可知，当x过小或过大时箱子容积很小，所以最大值出现在极值点处事实上，可导函数、在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值例5圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解析：转化为数学问题就是，圆柱的体积是一个定值时，求表面积最小时，高与半径的比值。答案: 设圆柱的高为h，底半径为R，则表面积S=2Rh+2R2由V=R2h，得，则S(
