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1、周次课题空间两条直线的位置关系（一）第 课时教学目标1了解空间两直线的位置关系，会在具体图形中辨别两直线的位置关系。2掌握平行公理和等角定理，并能证明一些简单命题。重点异面直线的概念，公理4及等角定理难点公理4及等角定理的应用教学过程一、自主探究1空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：；平行直线：同一平面内，公共点；异面直线：在任何一个平面内，没有公共点。和统称为共面直线。2公理4文字语言：的两条直线互相平行；符号语言：设a、b、c是三条直线，a/b，c/b。3空间中的等角定理：空间中，如果两个角的，那么这两个角。二、重点剖析1若没有特别说明，空间中的两条直线均指不重合的两条直线。2平行直线
2、和相交直线统称为共面直线。3空间两条直线的位置关系中，平行直线和相交直线是我们所熟悉的，而异面直线则是刚接触的新概念，它既是本节的重点，又是难点，必须重点掌握它。4公理4所表述的性质又叫做空间平行线的传递性，即已知直线a, b, c，且ab，bc，则ac。5平行公理是论证平行问题的主要依据，也是研究空间两直线的位置关系、直线与平面的位置关系的基础。6要注意空间中平行直线的定义的大前提是“在同一平面内”，即：在同一平面内，没有公共点的两条直线a，b叫做平行直线，记作a/b。因此反过来，若a/b，则直线a与b必共面。7平面几何中的性质“过直线外的一点，有且只有一条直线和这条直线平行”能推广到空间。
3、8“等角定理”是平面几何中等角定理的类比推广，但平面几何中的“如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两角相等或互补”，推广到空间中就不成立因此，我们必须慎重地类比推广平面几何中的相关结论。三、例题讲解例1如图，正方体ABCFD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：直线A1B与直线D1C的位置关系是；直线A1B与直线B1C的位置关系是；直线D1D与直线D1C的位置关系是；直线AB与直线B1C的位置关系是。变式训练：已知直线a, b及a, b外一点A，画出各种可能的图形。例2如图所示，空间四边形ABCD（不共面的四边形称为空间四边形）中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的
4、中点。（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；（2）如果ACBD，求证：EFGH是菱形。变式训练：如图所示，已知E、F分别是空间四边形ABCD的边AB与BC的中点，G、H分别是CD与AD上靠近点D的所在边的三等分点，求证：四边形EFGH是梯形。例3已知E、E1分别是正方体ABCDA1B1C1D1棱AD、A1D1的中点，求证：BECB1E1C1。变式训练：在如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，点O、O1分别是四边形ABCD、A1B1C1D1的对角线的交点，点E、F分别是四边形AA1D1D、BB1C1C的对角线的交点，点G、H分别是四边形A1ABB1、C1CDD1的对角线的交点。求证：OE
5、GO1FH。四、归纳小结1空间直线的位置关系有几种？2异面直线的定义及平行公理3等角定理教学反思：高二 年级 数学 教学案周次课题空间两条直线的位置关系（二）第课时授课形式新授主编审核教学目标1理解异面直线的概念，了解异面直线的判定2理解异面直线所成角的概念。3能根据异面直线所成角的定义，求出异面直线所成的角。重点难点1异面直线的概念，异面直线所成的角。2异面直线所成角的计算。课堂结构一、自主探究1异面直线 （1）定义：不同在任何一个平面内的两直线叫做。 （2）特点：既不，也不。2空间两条直线的位置关系 （1）相交在同一平面内，有且只有 公共点； （2）平行在同一平面内， 公共点； （3）异面
6、不同在 一个平面内， 公共点3异面直线的判定 （1）定义法：由定义判定两直线永远不可能在同一平面内，常用反证法 （2）定理：过一点与一点的直线与平面内不经过该点的直线是 。4两条异面直线所成的角 （1）定义：直线a、b是异面直线，经过空间一点O分别引直线，相交直线ab所成的(或) 叫做异面直线a、b所成的角。 （2）范围：。 5两异面直线的垂直 如果两条异面直线所成角是，则称这两条异面直线互相。二、重点剖析（一）异面直线的概念 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。（1）对异面直线定义的理解： “不同在任何一个平面内”，指这两条直线永不具备确定平面的条件，因此，异面直线既
7、不相交，也不平行，要注意把握异面直线的不共面性，“不同在任”也可以理解为“任何一个平面都不可能同时经过这两条直线”；还可以理解为“将经过其中一条直线的平面旋转，旋转任何位置的平面都不可能经过另一条直线。”不能把异面直线误解为分别在不同平面内的两条直线为异面直线如右图(1)，在长方体ABCD-A1BlClD1中，A1Dl A1BlClD1，BC 平面ABCD，但A1Dl与BC的位置关系是平行，而不是异面。又如右图(2)：平面平面l，但a、b并不是异面直线？也就是说，在两个不同平面内的直线，它们既可以是平行直线，也可以是相交直线 (2)异面直线的画法画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交
8、的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图(l)，若画成如下图(2)的情形，就分不开了，千万不能画成(2)的图形。画平面衬托时，通常画成下图中的情形。（二）异面直线的判定1异面直线判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线 2定理的证明如右图，已知，求证；直线AB和a是异面直线， 判定两条直线为异面直线的常用方法有：(1)定义法：不同在任一平面内的两条直线 (2)定理法：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线为异面直线 (3)推论法：一条异面直线上两点与另一条异面直线上两点所连成的两条直线为异面直线 (4)反证法：反证法
9、是证明立体几何问题的一种重要方法，证明步骤有三步：一是提出与结论相反的假设；二是由此假设推出与题目条件或某一公理、定理或某一已被证明是正确的命题相矛盾结果；三是推翻假设，从而肯定与假设相反的结论，即命题的结论成立，（三）异面直线所成的角 a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线aa，b /b，直线a和b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角如下图所示注意：(1)异面直线所成角的范围是090； (2)为了求异面直线a，b所成的角，可以在空间中任取一点O，过O分别作直线aa，b /b，再通过解三角形，求出a，b所成的角，但是，为了简便，点O常常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直
10、线的某些特殊点，例如“端点”或“中点”处； (3)我们规定：两条平行直线所成的角为0角，两条相交直线所成的角为这两条相交直线所成的四个角中的锐角（或直角），因此在空间中的两条直线所成的角的范围为(0，90； 特别地，若两异面直线所成角为90，则称两异面直线互相垂直； (4)求异面直线所成角的一般步骤是： 构造恰当地选择一个点，用平移法构造异面直线所成的角 证明 证明中所作出的角就是所求异面直线所成的角， 计算通过解三角形（常用余弦定理）等知识，求中所构造的角的大小，结论假如所构造的角的大小为，若090，则即为所求异面直线所成角的大小；若90180，则180即为所求。三、例题讲解 例1、异面直线
11、是指_ 空间中两条不相交的直线； 分别位于两个不同平面内的两条直线； 平面内的一条直线与平面外的一条直线； 不同在任何一个平面内的两条直线 变式训练：一个正方体中共有对异面直线例2、如图，已知平面，直线直线，求证：直线a和b是异面直线变式训练：如右图所示，已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，Aa，Ba，C6，Dc，求证AD与BC为异面直线 例3、在正方体ACl中，E，F分别是A1B1，B1Cl的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小。 变式训练：如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是对角线BD、AC的中点，若BCAD2EF，求直线EF与直线AD所成的角。规律总结：(1)求异面直线所成
12、角的关键是通过平移使其变为相交直线所成角，但平移哪一条直线、平移到什么位置，则依赖于特殊点的选取，选取特殊点时，要尽可能地使它与题设的所有相关条件和解题目标紧密地联系起来，如本例选取了F 构造异面直线所成角的常用方法有： 过其中一条直线上的已知点（往往是特殊点），作另一条直线的平行线，使异面直线所成角转化为相交直线所成的角（空间问题转化为平面问题）； 当异面直线依附于某几何体，且直接对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，将两条异面直线分别平移相交于该点； 通过构造辅助平面、辅助几何体来平移直线 (2)在解立体几何中的计算题时，要体现“作”“证”“算”三个过程“作”就是作图，作出有关图
13、形要写出作图的过程；“证”是证明，证明所作图形即为所求；“算”是指定量求解，在求异面直线所成角时，也要体现这三步，特别要指出哪一个角为异面直线所成的角四、归纳小结1异面直线的判定定理2异面直线所成角的定义及求法高二 年级 数学 教学案周次课题直线与平面的位置关系（一）第课时授课形式新授主编审核教学目标1了解空间中直线与平面的位置关，掌握直线和平面各种位置关系的图形的画法2掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，能较灵活地运用它们解决有关问题。重点难点空间直线与平面的位置关系用图形表达直线与平面的位置关系课堂结构一、自主探究1一条直线和一个平面的位置关系： (1)直线在平面内； (2)直线和平面相交； (3)直线和平面平行。2直线与平面平行的判定定理 语言叙述：
