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1、指数函数导学案 【学习导航】学习要求：1、巩固指数函数的图象及其性质；2、掌握由指数函数和其他简单函数组成的复合函数性质；【互动探究】一、 复合函数的定义域与值域例1、求下列函数的定义域与值域。(1)y=；(2)y=；(3)y=二、利用复合函数单调性来解题例2、求函数y=的单调区间。点评：y=a的单调性由a和u=f(x)两函数在相应区间上单调性确定的，遵循“同增异减”法则。三、利用图象的性质比较大小例3、已知函数f(x)=ax(a0，且a1)，根据图象判断f(x1)+f(x2)与f()的大小，并加以证明。四、分类讨论思想在解题中的应用例4、已知f(x)=(exa)+ (exa)(a0)。（1）
2、 f(x)将表示成u= 的函数；（2） 求f(x)的最小值思维分析：平方展开重新配方，就可以得到所求函数的形式；然后根据二次函数的知识确定最值。点评：这是复合函数求最值问题，为了求得最值，通过换元转化为二次函数，再由二次函数在区间上的单调性确定最值。【迁移应用】1、求下列函数定义域和值域.(1)y=；(2)y=2、求函数y=的单调区间.3、已知f(x)=（a0且a）(1)求f(x)的定义域和值域；(2)判断f(x)与的关系；(3)讨论f(x)的单调性；答案：例1、解关于x的对数不等式；2 loga (x4)loga(x2).思维分析：可以去掉对数符号，化为一般的代数不等式求解；同时考虑到底数a
3、的取值范围不确定，故应进行分类讨论。解：原不等式等价于(1)当a1时，又等价于解之，得x6。(2)当0a1时，又等价于解之，得4x1时，为(6，+ )；当0a1时，为(4,6).例2、已知函数f(x)的定义域是(0，+)，满足f(4)=1，f(xy)=f(x)+f(y).(1)证明f(1)=0；(2)求f(16)；(3)试证f(xn)=nf(x)，nN*.思维分析：这显然是一个抽象函数。根据题目给定的三个条件，可以将对数函数y=log4x作为该函数的原型，从而找到问题的解决思路与方法。(1)证明：令x=y=1，则得f(1)=f(1)+f(1)，故f(1)=0；(2)解：令x=y=4，则有f(1
4、6)=f(44)=f(4)+f(4)=1+1=2；(3)证明：f(xn)=f(xxx) (n个x)=f(x)+f(x)+f(x)=nf(x) (n个f(x)例3: 已知：在上恒有，求实数的取值范围。分析：去掉绝对值符号，转化为含对数式的不等式。【解】，当时，由在上恒成立 ，得 在上恒成立， （1）当时，由在上恒成立 ，得 在上恒成立，（2）由（1）（2）可知，实数的取值范围为思维点拔：本题的特点是给出了自变量的取值范围，求字母的取值范围，它与解不等式有本质的区别，在上恒成立，是指在上的所有值都大于1，这是一个不定问题，但转化为函数的最大（最小）值后，问题就简单了，这类问题的一般结论是：（1）（为常数，）恒成立，（2）（为常数，）恒成立，利用这两个结论，可以把“不定”问题转化为“定”的问题。1、解不等式解答：x|1xx|x0满足f()=f(x)f(y)，当x1时有f(x)0，试判断f(x)的单调性并证明.解答：f(x)在(0，+)上是减函数。证明略。4、已知函数，当时，恒成立，求实数的取值范围。解：要使当时，恒成立，即要：当恒成立令（1） 当，即时，得 （2） 当，即时，得 （舍去）（3） 当，即时，得 由（1）（2）（3）可知，实数的取值范围为。
