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1、函数的表示法【要点导学】1、函数的表示法(1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式.优点:一是简明、全面地概括了变量间的关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数.(2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系.优点:不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.(3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系.优点:能直观形象地表示出自变量的变化,相应的函数值变化的趋势. 2、分段函数:有些函数在它的定义域中,对于自变量的不同取值范围,对应法则不同,这样的函数称为分
2、段函数.分段函数是一个函数,而不是几个函数.3、求函数解析式的方法:(1)待定系数法;(2)换元法;(3)方程法;(4)配凑法等.4、作函数图象的一般步骤:(1)确定函数定义域;(2)化简或变形函数表达式(一般来说可化简成常见函数或其复合函数);(3)利用描点法或图象变换法作出图象.5、常见的图象变换有:平移变换、对称变换和翻折变换等.【范例精析】例1(1)已知是一次函数, 且,求的解析式;(2)已知,求;(3)已知满足,求思路剖析根据题设条件的特点,灵活采用相应的方法求解.解题示范(1)(待定系数法)设,则 ,即.比较系数,得,解得, 或 .或.(2)法1(换元法):令t=( t1),则,
3、(1)法2(配凑法):,又 1, (1).(3)(方程法) -,将中换成,得 -,2-,得 ,.回顾反思求函数解析式的方法:(1)待定系数法:适用于已知函数的类型,求函数的解析式;(2)换元法或配凑法:适用于已知复合函数的表达式,求 的解析式,但运用时要注意正确确定中间变量的取值范围;(3)方程法:只已知关于及的一个条件要求,可通过条件再寻找关于及的另一个方程,利用解方程组求出.请思考:若本题中把换成,你能求的解析式吗?(4)由实际问题求函数解析式时,常根据实际意义(如面积、距离等)确定函数解析式,并注明符合实际问题的定义域.例2动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点A出发,顺次经过B、C、D
4、再回到A.设表示P点的行程,表示PA的长,求关于的函数关系式.思路剖析视P点所处的正方形边的位置分别计算PA的长.解题示范如图 ,当P在AB边上运动,即时, PA=;当P在BC边上运动,即时, PA=; D P C P A P B当P在CD边上运动,即时,PA=;当P在DA边上运动,即时,PA=4-.P 回顾反思由于表示的是线段PA的长度,而表示的是P点从A点出发后所走的路程,从而计算PA长度的方式应随着P点所在正方形边的位置的变化而改变,因此计算PA时需对P点的位置进行分类讨论,故不可能用关于的一个表达式来表示,应用分段函数来表示.例3作出函数(1)=|;(2)=|2-2|-1的图象.x-1
5、 O 1 2 321-1-2思路剖析找出所作图象的函数与常见函数间的联系,利用函数的图象变换作图.解题示范(1) 当0时,= 当0时,=-() 作图步骤: 作出函数=的图象将上述图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方(原在轴上方的部分保留不变),即得=|x2-2x-1|的图象(如图). (2)当x0时 = 当x0向左,k0向上,k0向下)得图象. (2)对称变换: 用于研究函数的图象与、及的图象之间的联系:函数的图象与的图象关于轴对称;函数的图象与的图象关于轴对称;函数的图象与的图象关于原点对称.(3)翻折变换:用于研究函数的图象与与的图象之间的联系: 将的图象在轴上方的部分不变,下方部分以轴为对
6、称轴向上翻折即得的图象;将的图象在轴右方的部分保留不变,去掉轴左方的部分,以轴为对称轴将右方部分向左翻折即得的图象.2、并不是每一个函数都能作出它的图象,如狄利克雷(Dirichlet)函数D()=,我们就作不出它的图象.例4对于任意的实数,规定取4-,+1,三个值中的最小值.(1)求与的函数关系式,并画出此函数的图象.(2)为何值时,最大?最大值是多少? 思路剖析所谓是4-,+1,三个值中的最小值,是对于同一个值而言的,从图象上反映应是三个函数4-,+1,的图象中处于最下方的那一个.A B解题示范(1)在同一坐标系中作出三个函数4-,+1,的图象.设函数的图象分别与函数+1,4-的图象交于A
7、、B两点,由解得A(1, 2);由解得B(3, 1). 与的函数关系式是,其图象为实线部分. (2)由图象可知,当 = 1时, 最大,其最大值为 = 2 . 回顾反思求解此题的数学思想方法称为数形结合思想. 数形结合思想是数学中的重要思想方法之一,它在求解数学问题时有着广泛的应用,它在解题中的独到之处在于以形助数,利用形的直观性寻找到解题的突破口.例5已知函数 . (1) 当(-2,6)时,其值为正;时,其值为负,求, 的值及()的表达式; (2) 设,k为何值时,函数F ()的值恒为负值?思路剖析利用不等式与方程的关系以及数形结合的思想求解.解题示范(1)显然.当(-2,6)时,其值为正;时
8、,其值为负,-2,6是方程的两个根, 解得 = - 4 ,= - 8 (2) 欲使函数F ()的值恒为负值,显然,故 ,解得 k - 2当k 0的解集即为=的图象在轴上方部分的横坐标的取值范围;不等式0(的解集为,则是方程0的两个根;若是方程0的两个根,则不等式0(的解集为.2、设=(),由二次函数的图象可直观地得到:当时,恒成立;当时,恒成立,反之也成立.【能力训练】一、 选择题1、已知,那么的解析式为()A、B、C、D、2、在克%的盐水中,加入克%的盐水,浓度变成%,则与的函数关系式是()A、B、C、D、3、tdOtdOtdOtdO某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再
9、走余下的路程.在下图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下列四个图形中较符合该生走法的是() A、 B、 C、 D、 4、函数-2的图象可由函数的图象经过()得到. A、先向右平移1个单位,再向下平移2个单位B、先向右平移1个单位,再向上平移2个单位C、先向左平移1个单位,再向下平移2个单位D、先向左平移1个单位,再向上平移2个单位 5、函数的图象与函数的图象关于() A、轴对称B、轴对称C、原点对称D、以上都不对二、填空题6、已知 ,则. 7、已知()=,则(2+1)= .8、已知,则.9、将长为的铁丝折成矩形,设矩形的长为,则面积关于的函数关系式是 _ ,其定义域是 _.10、
10、已知()=,若()=10,则= .三、解答题11、(1)已知()是一次函数,且满足3(+1)-2(-1)=2+17,求();(2)设二次函数()满足(+2)= (2-),且方程()=0的两实根的平方和为10,的图象过点(0,3),求()的解析式.12、已知 (0), 求.13、(1) 已知,求.(2)设 求(). 14、作出下列函数的图象: (1) ; (2) ;(3) 15、讨论函数的图象与的图象的关系.【素质提高】16、已知函数()满足()= ()+ ()且(2)=,(3)= ,则(36)= . 17、讨论关于的方程的实数解的个数.18、设函数()=2-4-4的定义域为-2, -1,对任意R,求函数()的最小值()的解析式,并画出的图象.2.2函数的表示法1、C2、B3、D4、C5、C6、7、8、 9、= ,定义域是(0, ) 10、311、(1)()=2+7;(2)()=2-4+312、15 13、(1) (2) ()= 14、略15、的图象可由的图象先向左平移两个单位,再向上平移三个单位得到16、2(+) 17、当时,没有解;当或时,两解;当时,三解;当时,四解18、 ,图略