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1、第三讲 柯西不等式与排序不等式学习目标： 1、认识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式，理解它们的几何意义，掌握它们之间的关系2、认识柯西不等式的一般形式，理解它的几何意义，能够利用柯西不等式求一些特定函数的极值.3、了解排序不等式，会利用排序不等式证明有关的问题并掌握一些简单应用重点： 柯西不等式及排序不等式的应用.难点： 利用柯西不等式求最值和排序不等式证明不等式学习策略： 这部分内容是新增内容，是数学竞赛中的热点考点，随着数学素养的提高，高考可能会涉及。学习时掌握好二维形式的柯西不等式的数组特点，理解好有序的数组的构造方法。知识要点梳理一：柯西不等式1.二维形式的柯西不等式
2、： （1）向量形式： 设是两个向量，则 （当且仅当是零向量或存在实数k，使时，等号成立）。（2）代数形式： 若a、b、c、d都是实数，则 （当且仅当ad=bc时，等号成立） 若a、b、c、d都是正实数，则 （当且仅当ad=bc时，等号成立） 若a、b、c、d都是实数，则 （当且仅当ad=bc时，等号成立）注意：柯西不等式的代数形式可以看作是向量形式的坐标化表示；（3）三角形式： 设，则。2. 三维形式的柯西不等式（代数形式）： 若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。3. 一般形式的柯西不等式（代数形式）： 若都是实数，则，当且仅当或存在实数k，使得时，等号成立。二：排序不等式
3、（又称排序原理）设为两组实数，是的任一排列，称为这两个实数组的顺序积之和简称顺序和；称为这两个实数组的反序积之和简称反序和或逆序和；称为这两个实数组的乱序积之和简称乱序和；则即：反序和乱序和顺序和当且仅当时，反序和等于顺序和。注意：学习排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大反之，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列方法指导（1）柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。（
4、2）使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。（3）利用柯西不等式求最值的关键在于将式子进行恰当的“凑”变形。（4）排序不等式要抓住它的本质含义：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大反之，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一个序列为常数序列经典例题例1求函数的最大值 思路点拨：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd的形式就能利用柯西不等式求其最大值也可以利用导数求解。解析：法一：且， 函数的定义域为，且，当
5、且仅当时，等号成立， 即时函数取最大值，最大值为法二：且， 函数的定义域为由，得即，解得时函数取最大值，最大值为.总结升华：当函数解析式中含有根号时常利用柯西不等式求解不等式中的等号能否取得是求最值问题的关键举一反三：【变式1】设且，求的最大值及最小值。【答案】利用柯西不等式得故最大值为10，最小值为-10【变式2】已知，求的最值.【答案】法一：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.法二：由柯西不等式于是的最大值为，最小值为.【变式3】设2x+3y+5z=29，求函数的最大值【答案】根据柯西不等式 ，故。当且仅当2x+1=3y+4=5z+6，即时等号成立，此时，评注：根据所求最值的目标函数的形
6、式对已知条件进行配凑利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等。（1）巧拆常数： 例2设、为正数且各不相等，求证：思路点拨：、均为正，为证结论正确只需证：而，又，故可利用柯西不等式证明之。证明：又、各不相等，故等号不能成立。（2）重新安排某些项的次序： 例3、为非负数，+=1，求证：思路点拨：不等号左边为两个二项式积，直接利用柯西不等式，得不到结论，但当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了。证明：+=1即（3）改变结构： 例4若，求证：思路点拨：初见并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了。，所证结
7、论改为证。证明： （4）添项： 例5，求证：思路点拨：左端变形，只需证此式即可。证明：举一反三：【变式1】设a,b,c为正数，求证：【答案】由柯西不等式：，即。同理，将上面三个同向不等式相加得，于是【变式2】设a,b,c为正数，求证：。【答案】由柯西不等式于是即【变式3】已知正数满足证明。【答案】利用柯西不等式又因为在此不等式两边同乘以2，再加上得：故。例6ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证： 证明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左边=故。【变式】ABC之三边长为4，5，6，P为三角形内部一点，P到三边的距离分別为x，y，z，求的最小值。【答案】且4x+5y+6z=由
8、柯西不等式(4x+5y+6z)2(x2+y2+z2)(42+52+62)(x2+y2+z2)77x2+y2+z2。例7对，比较与的大小。思路点拨：题目中没有给出a,b,c三个数的大小顺序，且a,b,c在不等式中的“地位”是对等的，不妨设，再利用排序不等式加以证明解析：，不妨设，则由排序原理，乱序和顺序和，得：举一反三：【变式1】比较1010111112121313 与1013111212111310的大小。【答案】因10 11 12 13及 lg10 lg11 lg12 lg13，由排序不等式得：10lg10 + 11lg11 + 12lg12 + 13lg13 13lg10 + 12lg11
9、 + 11lg12 + 10lg13lg(1010111112121313) lg(1013111212111310)即1010111112121313 1013111212111310。【变式2】已知，求证：证明：由对称性，不妨设，于是，故由排序不等式：顺序和乱序和，得：又因为，再次由排序不等式：反序和乱序和，得：由得例8设,求证：证明：不妨设,则，由排序不等式有：，两式相加得：又因为：， 故两式相加得：即：举一反三：【变式】，求证：【答案】证明：不妨设则，从而，两式相加得：。课后练习1、设，若，则的最大值为_。2、，已知，则的范围为_，取最大值时数对=_，取最大值时数对=_。3、，已知，求
10、的范围为_。4、设，则之最小值为_。5、若，试求的最小值及最小值点。6、设，且，求之最小值。7、设，则的最小值为何？8、，若，求的最小值。9、设、为正数，且，求的最小值为_，此时数对=_。10、设、为正数，且，求的最小值为_，此时数对=_。11、设x+y+z=19，求函数的最小值。12、设，求证：。13、设为正数，求证：。14、设为1，2，n的一个排列，求证：。15、有十人各拿一个桶到水龙头前打水，设水龙头注满第 i 个桶需要 分钟，（i = 1, 2, , 10），若这些各不相同，那么当：（一）只有一个水龙头可用时；（二）共有二个水龙头可用时。应如何安排这十个人的次序，使他们的总花费时间（包
11、括等候时间）为最少。参考答案： 1、5；解析：利用柯西不等式得：，故的最大值为5。2、3、4、9；解析：利用柯西不等式得知，故最小值为95、解析：由柯西不等式：得，所以，当且仅当时成立。为求最小值点，需解方程组 ，解得。因此，当时，取得最小值，最小值为，最小值点为。6、解析：且故之最小值为13。7、解析：利用柯西不等式得原式故最小值为98、解析：令 又 ，故之最小值为9、；10、；11、解析根据柯西不等式当且仅当即时等号成立，此时12、证明：，又，于是由柯西不等式得：13、证明：不妨设，于是由排序不等式：顺序和乱序和，得即14、证明：设是的一个排列，且，为的一个排列，且，于是，由排序不等式：乱序和反序和，得由于，c12，于是综合，得证。解析：（一）不妨假设，我们安排拿第 i 个桶的为第 i 个拿水者，则总时间由排序不等式知，这样作出的 T 正是逆序和，数值最小，故安排愈小排得愈前时最省时。（二）不妨假设，现有二个水龙头，只要安排在一个水龙头，在另一个水龙头打水，如（一）般愈小排得愈前，则总时间，这也是一个逆序和，故数值
