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1、重庆南开中学高2020级高三(上)中期考试 理科数学试题考试说明：试卷分第I卷（选择题）和第卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合要求）1.若复数（其中为虚数单位），则（ ）A B C D 2.已知集合，那么（ ） A. B. C. D. 3.若递增的等比数列满足，则（ ）A.6 B.8 C.10 D.124.若，则下列说法正确的是（ ） A.若则 B.若则C.若则 D.若则 5.已知向量，且，则（ ） A.4 B.2 C. D.6.已知函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位，
2、则得到的新函数图象的解析式为（ ） A. B. C. D.7.我国古代数学专著九章算术中有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里，驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，则需（ ）日两马相逢A.16 B. 12 C.9 D.88.设且，则的最小值是（ ）A. B. C. D.9.如图是2020年上半年某五省情况图，则下列叙述正确的是（ ）与去年同期相比，2020年上半年五个省的总量均实现了增长； 2020年上半年山东的总量和增速均居第二；2020年同期浙江的总量高于河南；2020和2020年上半年辽宁的总量均位列第
3、五.A. B. C. D. 10.正项数列前项和为，且（）成等差数列，为数列的前项和，且，对任意总有，则的最小值为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 11.若函数的最大值为，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D.12.已知单位向量满足：向量 （），则的最小值为（ ） A. B. C. D.第卷(非选择题，共90分)二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，各题答案必须填写在答题卡上相应位置）13.已知向量的夹角为，且，则 14.已知函数是定义在实数集上周期为2的奇函数，当时，则 15.已知三内角的对边分别为，且,若成等比数列，则= 16.为庆祝党的十九大的胜利召开，小南同
4、学用数字1和9构成数列，满足：，在第个1和第个1之间有个9，即1,9,1,9,9,9,1,9,9,9,9,9，设数列的前项和为，若，则 三、解答题：（本大题共6个小题，共70分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）17.（本小题满分12分）设等差数列的前项和为，公差，且成等比数列.（）求数列的通项公式； （）设，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）甲、乙两所学校的代表队参加诗词大赛，在比赛第二阶段，两队各剩最后两个队员上场，甲队两名队员通过第二阶段比赛的概率分别是和，乙队两名队员通过第二阶段比赛的概率都是，通过了第二阶段比赛的队员，才能进入第三阶段比赛（
5、若某队两个队员都没有通过第二阶段的比赛，则该队进入第三阶段比赛的人数为0），所有参赛队员比赛互不影响，其过程、结果都是彼此独立的.（）求甲、乙两队进入第三阶段比赛的人数相等的概率；（）设表示进入第三阶段比赛甲、乙两队人数差的绝对值，求的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）已知向量，设（）若，求的所有取值；（）已知锐角三内角所对的边分别为，若，求的取值范围.20.（本小题满分12分）设椭圆，以短轴为直径的圆面积为，椭圆上的点到左焦点的最小距离是，为坐标原点.（）求椭圆和圆的方程；（）如图，为椭圆的左右顶点，分别为圆和椭圆上的点，且轴，若直线分别交轴于两点（分别位于轴的左、右两侧）.求证：
6、，并求当时直线的方程.21.（本小题满分12分）已知函数.（）若，求在处的切线方程；（）若对任意均有恒成立，求实数的取值范围；（）求证：.请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分。22.（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，直线，曲线为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.（）求曲线的极坐标方程；（）若曲线的极坐标方程为，且曲线分别交于两点，求的最大值.23.（本小题满分10分）选修4-5 不等式选讲已知函数.（）求不等式的
7、解集；（）若不等式解集非空，求实数的取值范围.重庆南开中学高2020级高三半期考试 数学试题（理科）参考答案1-12： 13. 14. 1 15. 16.24217.解：（1）由已知得（2），18.解：(1)用分别表示甲、乙两队通过第二阶段比赛的人数，的可能取值都是，则,设第三阶段比赛，甲、乙两队人数相等为事件，则(2)根据题意，随机变量的所有可能取值为，由(1)知,则,所以的分布列是：19. 解：（1）由得，为所求的取值。（2）由余弦定理和可得，又由正弦定理得：，又，得或（舍）故，由于锐角故有，所以20. 设椭圆，以短轴为直径的圆面积为，椭圆上的点到左焦点的最小距离是，为坐标原点.（1）求椭
8、圆和圆的方程；（2）如图，为椭圆的左右顶点，分别为圆和椭圆上的点，且轴，若直线分别交轴于两点（分别位于轴的两侧）.求证：，并求当时直线的方程.解：（1）由题意知，故所求椭圆方程为，圆（2）设，直线（易知斜率存在且不为0）将直线与联立得：，即所以直线的斜率为，从而的方程为所以，设，则所以故此时，当时，可得或者，故或者，所以直线的方程为或者或者21. 已知函数.（1）若，求在处的切线方程；（2）若对任意均有恒成立，求的取值范围；（3）求证：.解：（1）当时且，所以在处的切线方程为（2）由，考查，故当时，在恒成立，所以，即在单调递减，故符合题意；当时，使得，即当时不符合题意。故所求实数的取值范围是（3）由（2）知当时，则易知时即，即，令可得：从而取并相加可得：，故原不等式得证。22. 解：（1），所以的极坐标方程为曲线为参数的直角坐标方程为：，所以的极坐标方程为（2）设，且，当即时，的最大值为23. 解：（1）（2）因为，当且仅当时取等故不等式解集非空，等价于或
