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1、福建省漳浦县道周中学2020年高考数学专题复习 三角函数与平面向量的综合应用教案 文1.同角三角函数的基本关系式，正弦、余弦、正切的诱导公式常考常新两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数规律性强，对公式的正用、逆用、变形应用的技巧、方法要求较高，考查公式的灵活运用及变形能力.通过简单的恒等变换解决三角函数的化简求值是高考必考内容，且一直是高考的热点.2.研究三角函数的性质，一般要化为f(x)Asin(x) (A0，0)的形式，若是奇函数，则可化为f(x)Asin x；若是偶函数，则可化为f(x)Acos x.求三角函数的定义域，实际上是利用三角函数图象或三角函数线来确定不等式的解，求函数的单调
2、区间可以转化为求ysin x与ycos x的单调区间.3.解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值.试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现.4.平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法.平面向量的数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题.特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性.难点正本疑点清源1.三角函数问题一是化简求值问题，要熟练应用公式，紧扣角的范围，才可避免出错；二是三角函数的性质，要先将函数式化简为yAsin(
3、x) (A0，0)的形式，再研究其性质.2.向量的运算法则、运算律与数量的运算法则、运算律形成鲜明对比，要理解它们的联系与区别.要用向量的思想和方法去分析解决问题，一定要突出向量的工具性作用.题型一三角函数式的化简求值问题例1已知函数f(x)2sin xcos x2cos2x1 (xR).(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos 2x0的值.探究提高(1)两角和与差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算规律”，对公式要会“正用”、“逆用”、“变形用”，记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“”，“”的变化特点.(2)
4、在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换.(3)本题的易错点是易用错公式和角的拆分不准确. 已知向量m(1，cos xsin x)，n(f(x)，cos x)，其中0，且mn，又函数f(x)的图象上任意两相邻对称轴的间距为.(1)求的值；(2)设是第一象限角，且f，求的值.题型二三角形中的三角恒等变换例2设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2bsin A.(1)求B的大小；(2)求cos Asin C的取值范围.探究提高本题的难点是第(2)问，求解三角函数式的取值范围，首先要根据三角形内角之间的关系进
5、行化简，然后根据已知条件确定角A或角C的取值范围，要利用锐角三角形的每个内角都是锐角，构造关于角A的不等式确定其取值范围，最后利用三角函数的图象和性质确定三角函数式的取值范围. 设ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c且3b23c23a24bc.(1)求sin A的值；(2)求的值.题型三平面向量与三角函数例3已知向量m，n.(1)若mn1，求cos的值；(2)记f(x)mn，在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(2ac)cos Bbcos C，求函数f(A)的取值范围.探究提高向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题.
6、已知A、B、C的坐标分别为A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，.(1)若|，求角的值；(2)若1，求 的值.8.平面向量与三角函数的综合问题试题：(12分)设向量a(4cos ，sin )，b(sin ，4cos )，c(cos ，4sin ).(1)若a与b2c垂直，求tan()的值；(2)求|bc|的最大值；(3)若tan tan 16，求证：ab.审题视角(1)利用向量的垂直关系，将向量间的关系转化成三角函数式，化简求值.(2)根据向量模的定义，将求模问题转化为求三角函数最值的问题.(3)转化成证明与向量平行等价的三角函数式.规范解答(1)解由a与b2c垂直，得a(b2
7、c)ab2ac0，即4sin()8cos()0，tan()2.4分(2)解|bc|2(bc)2b2c22bcsin216cos2cos216sin22(sin cos 16sin cos )1730sin cos 1715sin 2，最大值为32，所以|bc|的最大值为4.8分(3)证明由tan tan 16，得sin sin 16cos cos ，即4 cos 4cos sin sin 0，故ab.12分第一步：将向量间的关系转化成三角函数式.第二步：化简三角函数式.第三步：求三角函数式的值或分析三角函数式的性质.第四步：明确结论.第五步：反思回顾.查看关键点，易错点和规范解答.批阅笔记(1
8、)本题是典型的向量与三角函数的综合，题目难度中档，属高考的重点题型.(2)本题体现了转化与化归的思想方法.根据向量关系，转化为三角函数式的问题，利用三角函数解决.(3)易错分析.在将向量关系转化为三角函数式时易出错.在第(3)问中，学生不知道要推出怎样的三角关系式才能说明ab.事实上是学生忽略了ab的条件.方法与技巧1.研究三角函数的图象与性质的主要思想方法是数形结合思想，这主要体现在运用三角函数的图象研究三角函数的图象变换、最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等知识；运用三角函数的图象解决取值范围、交点个数、定义域等内容.2.三角函数与向量的交汇综合是近几年高考的热点题型，主要从以下两个方面
9、进行考查.(1)利用平面向量的知识(如向量的模、数量积、向量的夹角)，通过向量的有关运算，将向量条件转化为三角关系，然后通过三角变换及三角函数的图象与性质等解决问题.(2)从三角与向量的关联点(角与距离)处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查.3.加强数学思想方法的考查，转化思想主要体现在把向量问题转化为三角问题.失误与防范1.对于三角函数的化简求值问题，一要熟练应用公式化简，二要注意角的范围.2.平面向量与三角函数问题，一般是通过向量运算，将其转化为三角函数式，要注意转化的准确性和灵活性.专题三三角函数与平面向量的综合应用(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1
10、.已知向量a(2，sin x)，b(cos2x,2cos x)，则函数f(x)ab的最小正周期是 ()A. B. C.2 D.42.已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m(，1)，n(cos A，sin A).若mn，且acos Bbcos Acsin C，则角A，B的大小分别为 ()A.， B.，C.， D.，3.已知a，b(1，)，则|atb| (tR)的最小值等于 ()A.1 B. C. D.二、填空题4.已知00，0，|)，若该函数图象上的一个最高点坐标为，与其相邻的对称中心的坐标是.(1)求函数yAsin(x)的解析式；(2)求函数的最小值，并写出函数取得最小值时自
11、变量x的集合.8.ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(2sin B，)，n且mn.(1)求锐角B的大小；(2)如果b2，求SABC的最大值.B组专项能力提升题组一、选择题1.已知向量(2,0)，向量(2,2)，向量(cos ，sin )，则向量与向量的夹角的取值范围是 ()A. B.C. D.2.在ABC中，3，ABC的面积SABC，则与夹角的取值范围是 ()A. B.C. D.3.(2020大纲全国)设向量a，b，c满足|a|b|1，ab，ac，bc60，则|c|的最大值等于 ()A.2 B.C. D.1二、填空题4.已知向量a(cos ，sin )，向量b(，1)，则|2
12、ab|的最大值、最小值分别是_.5.如图，在梯形ABCD中，ADBC，ADAB，AD1，BC2，AB3，P是BC上的一个动点，当取得最小值时，tanDPA的值为_.6.(2020上海)在正三角形ABC中，D是BC上的点.若AB3，BD1，则_.三、解答题7.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且lg alg blg cos Blg cos A0.(1)判断ABC的形状；(2)设向量m(2a，b)，n(a，3b)，且mn，(mn)(nm)14，求a，b，c的值.8.已知两个不共线的向量a，b的夹角为，且|a|3，|b|1，x为正实数.(1)若a2b与a4b垂直，求tan ；(2)若，
13、求|xab|的最小值及对应的x的值，并指出向量a与xab的位置关系；(3)若为锐角，对于正实数m，关于x的方程|xab|ma|有两个不同的正实数解，且xm，求m的取值范围.答案题型分类深度剖析例1解(1)由f(x)2sin xcos x2cos2x1，得f(x)(2sin xcos x)(2cos2x1)sin 2xcos 2x2sin.所以函数f(x)的最小正周期为.因为f(x)2sin在区间上为增函数，在区间上为减函数，又f(0)1，f2，f1，所以函数f(x)在区间上的最大值为2，最小值为1.(2)由(1)，可知f(x0)2sin.又因为f(x0)，所以sin.由x0，得2x0.从而cos.所以cos 2x0coscoscos sinsin .变式训练1(1)(2)例2解(1)由a2bsin A，根据正
