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1、学海无涯 福建省福建师大附中福建省福建师大附中 2013 届届 5 月月高考高考三轮三轮模拟试卷模拟试卷 数学理科数学理科试题试题 注意事项 注意事项 1 本科考试分试题卷和答题卷 考生须在答题卷上作答 答题前 请在答题卷的密 封线内填写学校 班级 准考证号 姓名 2 本试卷分为第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 全卷满分 150 分 考试时 间 120 分钟 参考公式 参考公式 第 卷第 卷 选择题 选择题 共共 5050 分 分 一一 选择题 选择题 本大题共本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 50 分分 在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项 中中有
2、且有且只有一项是符合题目要求的只有一项是符合题目要求的 把答案填在答题卡的相应位置 把答案填在答题卡的相应位置 1 复数 1 i z i 是虚数单位 在复平面内对应的点是位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 设aR 则 4a 是 直线 1 230laxy 与直线 2 20lxya 平行 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3 已知集合 2 log 1 2Mxx 6Nx ax 且 2 MNb I 则 ab A 4 B 5 C 6 D 7 样本数据 1 x 2 x L n x的标准差 222 12 1 n sxxxxxx
3、n L 其中x为样本平均数 柱体体积公式 VSh 其中S为底面面积 h为高 锥体体积公式 1 3 VSh 其中S为底面面积 h为高 球的表面积 体积公式 2 4SR 3 4 3 VR 其中R为球的半径 学海无涯 4 设z x y 其中x y满足 20 0 0 xy xy xk 当Z的最大值为6时 k的值为 A 3 B 4 C 5 D 6 5 阅读如下图所示的程序框图 运行相应的程序 若输入72 30mn 则输出n的 值为 A 12 B 6 C 3 D 0 6 ABC 的三个内角 A B C对应的边分别 a b c 且cos cos cosaC bB cA成等差数列 则角B等于 A 0 30 B
4、 0 60 C 0 90 D 0 120 7 设 0 cossinaxx dx 则二项式 6 2 a x x 展开式中的 3 x项的系数为 A 20 B 20 C 160 D 160 8 如下图所示 在棱长为 2 的正方体 1111 DCBAABCD 内 含 正方体表面 任取一点M 则1 1 AMAA的概率 p A 3 4 B 1 2 C 1 4 D 1 8 9 已知平面上的线段及点P 在上任取一点Q 线段PQ长度的 最小值称为点P到线段的距离 记作 d P l 设是长为 2 的线段 点集 1 DP d P l 所表示图形的面积为 A B 2 C 2 D 4 第 5 题图 开始 n r 输入正
5、整数m n 求m除以n的余数r m n r 0 输出n 结束 是 否 A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D M 第 8 题图 学海无涯 10 如下图所示 有三根针和套在一根针上的n个金属片 按下列规则 把金属片从一 根针上全部移到另一根针上 1 每次只能移动一个金属片 2 在每次移动过程中 每根针上较大的金属片不能 放在较小的金属片上面 若将n个金属片从 1 号针移到 3 号针最少需要移动的次 数记为 f n 则 5 f A 33 B 31 C 17 D 15 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 4 分 共分 共 20 分分 把答案填在答题卡的相应
6、位置把答案填在答题卡的相应位置 11 在样本频率分布直方图中 共有 11 个小长方形 若中间一个小长方形的面积等于其 它 10 个长方形的面积和的 1 4 且样本容量为 160 则中间一组的频数为 12 在平面直角坐标系Oxy中 若双曲线 22 2 1 4 xy mm 的焦距为 8 则 m 13 如图 矩形 nnnn DCBA的一边 nnB A在x轴上 另外两个顶点 nn DC 在函数 0 1 x x xxf的图象上 若点 n B的坐标为 0n 2 n 且 nN 记矩形 nnnn DCBA的周长为 n a 则 1032 aaa 14 已知某几何体的三视图如右图所示 则该几何体的体积为 15 我
7、国齐梁时代的数学家祖暅 公元 5 6 世纪 提出了一条原理 幂势既同 则积不容 异 这句话的意思是 夹在两个平行平面间的两个几何体 被平行于这两个平行平面的 任何平面所截 如果截得的两个截面的面积总是相等 那么这两个几何体的体积相等 2 1 3 第 10 题图 An Dn Bn Ox y Cn 第 13 题图 俯视图 2 2 侧视图 1 1 正视图 2 1 第 14 题图 学海无涯 设 由曲线 2 4xy 和直线4x 0y 所围成的平面图形 绕y轴旋转一周所得到的 旋转体为 1 由同时满足0 x 22 16xy 22 2 4xy 22 2 4xy 的 点 x y构成的平面图形 绕y轴旋转一周所
8、得到的旋转体为 2 根据祖暅原理等知识 通过考察 2 可以得到 1 的体积为 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 小题 共小题 共 80 分分 解答写在答题卡相位置 应写出文字说明 证解答写在答题卡相位置 应写出文字说明 证 明过程或演算步骤明过程或演算步骤 16 本小题满分 13 分 已知O为坐标原点 对于函数 sincosf xaxbx 称向量 OMa b uuuu r 为函数 f x的伴随向量 同时称函数 f x为向量OM uuuu r 的伴随函数 设函数 sin 2cos 22 g xxx 试求 g x的伴随向量OM uuuu r 的模 记 1 3 ON uuu r 的伴随函
9、数为 h x 求使得关于x的方程 0h xt 在 0 2 内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围 17 本小题满分 13 分 某超市在节日期间进行有奖促销 凡在该超市购物满 300 元的顾客 将获得一次摸 奖机会 规则如下 奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球 1 个黄球 1 个白球和 1 个黑球 顾客不 放回的每次摸出 1 个球 若摸到黑球则停止摸奖 否则就要将奖盒中的球全部摸出才停 止 规定摸到红球奖励 10 元 摸到白球或黄球奖励 5 元 摸到黑球不奖励 求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率 记X为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额 求随机变量X的分布列和数学期望 学海无涯 18 本
10、小题满分 13 分 如图 AB是半圆O的直径 C是半圆O上除A B外的一个动点 DC垂直于半 圆O所在的平面 DC EB DCEB 4 AB 4 1 tan EAB 证明 平面 ADE平面ACD 当三棱锥ADEC 体积最大时 求二面 角DAEB 的余弦值 19 本小题满分 13 分 已知圆 22 34O xy 椭圆 22 1 259 xy C 若点P在圆O上 线段OP的垂直平分线经过椭圆的右焦点 求点P的横坐标 现有如下真命题 过圆 2222 53xy 上任意一点 Q m n作椭圆 22 22 1 53 xy 的两条切线 则 这两条切线互相垂直 过圆 2222 47xy 上任意一点 Q m n
11、作椭圆 22 22 1 47 xy 的两条切线 则 这两条切线互相垂直 据此 写出一般结论 并加以证明 20 本小题满分 14 分 已知函数 32 f xxxbx lng xaxx 0a 1 若函数 f x存在极值点 求实数 b 的取值范围 2 求函数 g x的单调区间 3 当0b 且0a 时 令 1 1 f x x F x g xx x P 11 x F x Q 22 x F x 为曲线 y F x上的两动点 O 为坐标原点 能否使得POQ 是以 O 为直角顶点的直角 三角形 且斜边中点在 y 轴上 请说明理由 AB C D E O O 学海无涯 21 本题有 1 2 3 三个选答题 每题
12、7 分 请考生任选 2 题做答 满分 14 分 如 果多做 则按所做的前两题记分 1 本小题满分 7 分 选修 4 2 矩阵与变换 已知矩阵 A b a 1 2 有一个属于特征值 1 的特征向量 1 2 求矩阵 A 若矩阵 B 10 11 求直线10 xy 先在矩阵 A 再在矩阵 B 的对应变换作 用下的像的方程 2 本小题满分 7 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程是2sin 直线的参数方程是 3 2 5 4 5 xt yt 为参数 将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程 设直线与x轴的交点是M N是曲线C上一动点 求MN的最大值 3 本小题满分 7 分 选修45 不等
13、式选讲 I 试证明柯西不等式 2 2222 abxyaxby m n a bR II 已知 22 2 xy 且xy 求 22 11 xyxy 的最小值 福建省福建师大附中福建省福建师大附中 2013 届届 5 月月高考高考三轮三轮模拟试卷模拟试卷 数学理科数学理科试题试题参考答案参考答案 1 1 5 DCDAB 65 DCDAB 6 10 BCADB 10 BCADB 11 32 12 3 13 216 14 10 3 15 32 16 解 sin 2cos 22 g xxx 2sincosxx 2 分 2 1 OM uuuu r 4 分 故 22 215OM uuuu r 5 分 由已知可得
14、 sin3cosh xxx 2sin 3 x 7 分 0 2 x 336 x 故 1 2h x 9 分 学海无涯 当0 6 x 时 函数 h x单调递增 且 3 2h x 当 6 2 x 时 函数 h x单调递减 且 1 2h x 使得关于x的方程 0h xt 在 0 2 内恒有两个不相等实数解的实数 的取值范围为 3 2t 13 分 17 解 设 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖 为事件A 则 2 3 3 4 A1 A4 P A 故 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率为 1 4 4 分 解 随机变量X的所有取值为0 5 10 15 20 5 分 1 0 4 P X 2 2 2 4 A1 5
15、A6 P X 2 2 23 44 A11 10 AA6 P X 12 22 3 4 CA1 15 A6 P X 3 3 4 4 A1 20 A4 P X 10 分 所以 随机变量X的分布列为 X 0 5 10 15 20 P 1 4 1 6 1 6 1 6 1 4 11 分 11111 0510152010 46664 EX 13 分 18 证明 因为AB是直径 所以ACBC 1 分 因为 CD平面ABC 所以BCCD 2 分 因为CACCD 所以 BC平面ACD 3 分 因为BECD BECD 所以BCDE是平行四边形 DEBC 所以 DE平面 ACD 4 分 因为 DE平面ADE 所以平面
16、 ADE平面ACD 5 分 学海无涯 依题意 1 4 1 4tan EABABEB 6 分 由 知DESVV ACDACDEADEC 3 1 DECDAC 2 1 3 1 BCAC 6 1 3 4 12 1 12 1 222 ABBCAC 当且仅当 22 BCAC时等号成立 8 分 如 图 所 示 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 则 0 0 1 D 0 2 2 1 E 2 2 0 0 A 0 2 2 0 B 则 2 2 2 2 0 AB uuu r 0 0 1 BE uuu r 0 2 2 0 DE uuu r 2 2 0 1 DA uuu r 9 分 设面DAE的法向量为 1 nx y z r 1 1 0 0 n DE nDA ur uuu r ruuu r 即 2 20 2 20 y xz 1 1 0 2 2 n r 10 分 设 面ABE的 法 向 量 为 2 nx y z uu r 2 2 0 0 nBE nAB ruuu r ruuu r 即 0 2 22 20 z xy 2 1 1 0 n r 12 12 12 12 cos 629 n n n n n n rr rr
