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1、江苏省梁丰高中2013-2014学年第二学期 高三数学4月质量检测 2014.4.12数学一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请把答案直接填写在答卷纸相应的位置)1.已知集合, .2.复数 .3.“”是“”的 条件(从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个)4.从中随机取出两个不同的数,则其和为奇数的概率为 5.为了了解高三学生的身体状况,抽取了部分男生的体重,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图(如图)。已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1:2:3,第2小组的频数为12,则抽取的男生人数是 .6.执行右面的框图,若输出p的值是24,则
2、输入的正整数N应为_.7.若正三棱锥的底面边长为,侧棱长为1,则此三棱锥的体积为 .8.在直角三角形中,若,则 9.已知,则 10.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,且与直线xy30相切,则圆C的半径为 11.双曲线右支上一点P到左焦点的距离是到右准线距离的6倍,则该双曲线离心率的范围为 12.已知数列为等差数列,首项,公差,若成等比数列,且,则数列的通项公式 13.已知定义在R上的函数满足:,则方程在区间上的所有实根之和为 .14.若关于x的不等式(组)恒成立,则所有这样的解x构成的集合是_.二、解答题:(本大题共6小题,计90分解答应写出必要的文字
3、说明、证明或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)15.(本小题满分14分)已知函数.(I)求函数的最小正周期;(II)在中,若的值.16(本小题满分14分)如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,ADBC,ADC,BCAD,PAPD,Q为AD的中点。(1)求证:AD平面PBQ;(2)已知点M为线段PC的中点,证明:PA平面BMQ。17. (本小题满分14分) 某公园准备建一个摩天轮,摩天轮的外围是一个周长为米的圆在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连经预算,摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为米时,相邻两座
4、位之间的钢管和其中一个座位的总费用为元假设座位等距离分布,且至少有两个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记摩天轮的总造价为元(1)试写出关于的函数关系式,并写出定义域;(2)当米时,试确定座位的个数,使得总造价最低18(本小题满分16分)已知,数列有(常数),对任意的正整数并有满足。(1)求的值;(2)试确定数列是不是等差数列,若是,求出其通项公式。若不是,说明理由;(3)令,是否存在正整数M,使不等式恒成立,若存在,求出M的最小值,若不存在,说明理由。19(本小题满分16分)在平面直角坐标,直线:经过椭圆的一个焦点,且点(0, )到直线l的距离为2.(1)求椭圆E的方程;(2)A、B
5、、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称,且ACCB问ABC的面积是否存在最小值?若存在,求此时点C的坐标;若不存在,说明理由20(本小题满分16分)已知函数.(1)当时,求函数的极值;(2)设定义在D上的函数在点处的切线方程为.当时,若在D内恒成立,则称P为函数的“转点”.当时,试问函数是否存在“转点”?若存在,求出“转点”的横坐标;若不存在,请说明理由.江苏省梁丰高中2013-2014学年第二学期 高三数学4月质量检测 2014.4.12数学(附加题) 1.求使等式成立的矩阵M。2.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(为参数),M是C1上的动点,P点满足2,点P的轨迹为曲线C2.(
6、1)求C2的方程;(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求AB.3集合中任取三个元素构成子集(1)求a,b,c中任意两数之差的绝对值均不小于2的概率;(2)记a,b,c三个数中相邻自然数的组数为(如集合3,4,5中3和4相邻,2),求随机变量的分布列及其数学期望E()。4、如图所示,在三棱柱ABCA1B1C1中,H是正方形 AA1B1B的中心,AA12,C1H平面AA1B1B,且C1H.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值;(2)求二面角AA1C1B1的正弦值;(3)设N为棱B1C1的中点,点M在平面AA1B1B
7、内,且MN平面A1B1C1,求线段BM的长 高三数学4月质量检测(答案) 1. 2. 3.必要不充分 4. 5.48 6.7、 8、 9、 10、 11、 12.13.由题意知函数的周期为,则函数在区间0B-3-51CAyx上的图象如下图所示:由图形可知函数在区间上的交点为,易知点的横坐标为,若设的横坐标为,则点的横坐标为,所以方程在区间上的所有实数根之和为.14.答案,不等式等价于,即又(均值不等式不成立)令故,所以,(因为最小值大于,在中,可以取等号),故,解得或,所以答案为.15.解:()因为, 所以函数的最小正周期为 6分()由()得, 由已知,又角为锐角,所以, 由正弦定理,得 12
8、分16.证明:PAD中,PA=PD,Q为AD中点,PQAD,底面ABCD中,AD/BC,BC=AD,DQ/BC,DQ=BC BCDQ为平行四边形,由ADC=900,AQB=900,ADBQ 由ADPQ,ADBQ,BQPQ=Q,PQ、BQ面PBQAD平面PBQ 7分连接CQ,ACBQ=N,由AQ/BC,AQ=BC,ABCQ为平行四边形,N为AC中点,由DPAC中,M、N为PC、AC中点, MN/PA由MN面BMQ,PA面BMQ 面BMQPA 14分1717(1)设摩天轮上总共有个座位,则,即,2分, 4分定义域 6分(2)当时,令,8分,则,10分, 12分当时,即在上单调减,当时,即在上单调增
9、,在时取到,此时座位个数为个14分18.解:(1)由已知,得, (2)由得则,即,于是有,并且有,即,而是正整数,则对任意都有,数列是等差数列,其通项公式是。 (3);由是正整数可得,故存在最小的正整数M=3,使不等式恒成立。19(本小题满分16分)在平面直角坐标,直线:经过椭圆的一个焦点,且点(0, )到直线l的距离为2.(1)求椭圆E的方程;(2)A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称,且ACCB问ABC的面积是否存在最小值?若存在,求此时点C的坐标;若不存在,说明理由19.20(本小题满分16分)已知函数.(1)当时,求函数的极值;(2)设定义在D上的函数在点处的切线方程为.当时,若在D内恒成立,则称P为函数的“转点”.当时,试问函数是否存在“转点”?若存在,求出“转点”的横坐标;若不存在,请说明理由.20.解:(I)当时,当,当 ,所以函数在和单调递增,在单调递减,所以当时,函数取到极大值为,当时,函数取到极小值为-2. (6分)(II)当时,由函数在其图像上一点处的切线方程,得设且 (10分)当时,在上单调递减,所以当时,;当时,在上单调递减,所以当时,;所以在不存在 “转点”. (13分)当时,即在上是增函数.当时,当时,即点为“转点”.故函数存在“转点”,且2是“转点”的横坐标. (16分)附加题答案16