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1、抛物线与直线形（2） 由动点生成的特殊四边形问题知识点归纳抛物线与直线形的结合另一表现形式是以抛物线为载体，探讨是否存在一些点，使其能够成某些特殊四边形，有以下常见的基本形式：（1）抛物线上的点能否构成平行四边形；（2）抛物线上的点能否构成矩形、菱形、正方形；（3）抛物线上的点能否构成梯形；特殊四边形的性质与判定是解这类问题的基础，而待定系数法、数形结合、分类讨论是解这类问题的关键。经典例题【例1】如图，抛物线与轴交两点（点在点左侧），直线与抛物线交于两点，其中点的横坐标为（1）求两点的坐标及直线的函数表达式；（2）是线段上的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求线段长度的最大值；（3）点
2、抛物线上的动点，在轴上是否存在点，使这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点坐标；如果不存在，请说明理由（义乌市中考题）思路点拨 对于（3），可能为平行四边形的边或对角线，故四个点能组成四边形的情况由多种，需全面讨论。【例2】如图，对称轴为直线的抛物线经过点和（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形是以为对角线的平行四边形，求平行四边形的面积与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；当平行四边形的面积为时，请判断平行四边形是否为菱形？是否存在点，使平行四边形为正方形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由（河南省中考
3、题）思路点拨 对于（2），若，则平行四边形为菱形；若且，则平行四边形为正方形。先求出点坐标，再看点是否在抛物线上。【例3】如图：二次函数的图象与轴交于两点，且与轴交于点（1）求该抛物线的解析式，并判断ABC的形状；（2）在轴上方的抛物线上有一点，且四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标；（3）在此抛物线上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由（临江市中考题）思路点拨 问题（1）中已经确定了的形状，只需再构造直角就可解决问题（3）。点是直线与抛物线的交点，但梯形的另一直角顶点不确定。【例4】如图，在平面直角坐标系中，的两个顶点在轴上，顶
4、点在轴的负半轴上已知，的面积，抛物线经过三点。 (1)求此抛物线的函数表达式； (2)设是轴右侧抛物线上异于点的一个动点，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，过点作垂直于轴于点，再过点作垂直于轴于点，得到矩形则在点的运动过程中，当矩形为正方形时，求出该正方形的边长； (3)在抛物线上是否存在异于的点，使中边上的高为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由（2011年成都市中考题）分析 对于（2），设出点的坐标，由，建立方程；对于（3），假设存在点，使中边上的高为，则点应在与直线平行且与直线相距的两条平行线上。同步训练1. 如图，抛物线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于另一点，过点作轴，垂足为
5、点（1）求直线的函数关系式；（2）动点在线段上，从原点出发以每秒一个单位的速度向移动，过点作轴的垂线，交直线于点，抛物线于点，设点移动的时间为秒，线段的长为个单位，求与的函数关系式；（3）在（2）的条件下（不考虑点与点、点重合的情况），连接，四边形能否为平行四边形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由（2011年广州市中考题）2. 已知平面直角坐标系（如图），一次函数的图象与轴交于点，点在正比例函数的图象上，且二次函数的图象经过点（1）求线段的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点在轴上，且位于点下方，点在上述二次函数的图象上，点在一次函数的图象上，且四边形是菱形，求点的坐标（20
6、11年上海市中考题）3. 如图，已知抛物线过点，与轴交于另一点（1）求抛物线的解析式；（2）若在第三象限的抛物线上存在点，使为以点为直角顶点的直角三角形，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点，使以为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由（烟台市中考题）4. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于两点，点在轴上，点的横坐标为（1）求该抛物线的解析式；（2）点是直线上方的抛物线上一动点（不与点重合），过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，作于点设的周长为，点的横坐标为，求关于的函数关系式，并求出的最大值；连接，以为边作图示一侧的正方形随着点的运动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点或恰好落在轴上时，直接写出对应的点的坐标（2011年河南省中考题）
