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1、山西省运城市康杰中学2020届高考数学模拟试题（四）理【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 复数的实部为 A. -1B. 0C. 1D. 22. 设集合，集合，则等于 A. B. C. D. R3. “结绳计数”是远古时期人类智慧的结晶，即人们通过在绳子上打结来记录数量，如图所示的是一位猎人记录自己采摘果实的个数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满四进一，根据图示可知，猎人采摘的果实的个数（用十进制表示）是 A. 492B. 382C. 185D. 1234. 给出下列四个结论：命题“
2、.”的否定是“.”；“若，则.”的否命题是“若则.”；若是真命题，是假命题，则命题中一真一假；若，则是的充分不必要条件.其中正确结论的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知，则 A. B. C. D. 6. 已知实数满足，若只在点（4，3）处取得最大值，则 的取值范围是 A. B. C. D. 正视图侧视图俯视图7. 如图是某四棱锥的三视图，其中正视图是边长为2的正方形，侧视图是底边长分别为2和1的直角梯形，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 8. 已知与为单位向量，且，向量满足2，则的取值范围为 A. B. C. D. 9. 将函数的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图
3、象向下平移一个单位长度得到函数的图象，且的图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是 A. B. C. D. 10. 设双曲线的左、右焦点分别为. 若点P在双曲线上，且为锐角三角形，则的取值范围是 A. B. C. D. 11. 点P为棱长是的正方体的内切球O球面上的动点，点M为的中点，若满足，则动点P的轨迹的长度为 A. B. 2C. 4D. 212. 设函数是函数的导函数，已知，且，则使得成立的的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13. 幂函数的图象关于轴对称，则实数_.14. 的展开式中，的系数为_.15. 在中，分别
4、是内角A，B，C的对边且B为锐角，若，则的值为_. 16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆交于的两点，且轴，若为椭圆上异于的动点且，则该椭圆的离心率为_.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.（12分）已知数列满足，等差数列满足.（1）记，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.18.（12分）中石化集团获得了某地深海油田区块的开采权，集团在该地区随机初步勘探了部分几口井，取得了地质资料，进入全面勘探时期后，集团按网络点布置井位进行全面勘探，
5、由于勘探一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合或接近，便利用旧井的地质资料，不必打这口新井，以节约勘探费用，勘探初期数据资料见下表：井号123456坐标（2，30）（4，40）（5，60）（6，50）（8，70）钻探深度（km）2456810出油量（L）407011090160205（1）若1-6号旧井位置线性分布，借助前5组数据求得回归直线方程为，求，并估计的预报值；（2）现准备勘探新井7（1，25），若通过1、3、5、7号井计算出的，的值（，精确到0.01）相比于（1）中的值之差都不超过10%，则使用位置最接近的已有旧井，否则在新位置打井，请判断可否使用旧井？（参考公式和计算结果
6、：）（3）如果称出油量与勘探深度的比值不低于20的勘探井为优质井，那么在原有6口井中任意勘探4口井，求勘探出优质井数的分布列与数学期望.19. （12分）已知四边形为等腰梯形，沿对角线将旋转，使得点至点的位置，此时满足.（1）证明；（2）求二面角平面角的正弦值.20. （12分）已知动点到定点的距离比到定直线的距离小1.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和设线段，的中点分别为，求证：直线恒过一个定点.21（12分）已知函数.（1）时，求在上的单调区间；（2）且恒成立，求实数的取值范围.（二）选考题：共10分。 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果
7、多做，则按所做的第一题记分。22. 选修44：坐标系与参数方程选讲（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数，），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设与交于两点（异于点），求的最大值.23. 选修45：不等式选讲（10分）已知函数（1）若，求的取值范围；（2）若，对，都有不等式恒成立，求的取值范围.数学理答案（四）A卷 15 BDDCC 610 CABBA 1112 CBB卷 15 ACCBB 610 ABCDB 1112 AD1. 解析 由复数的运算性质易求得2. 本题考查集合的运算，指数函数，对数函数的基本性质
8、.解析 ，故3. 本题以数学文化为载体，考查了进位制等基础知识解析 4. 本题考查了命题真假判断、充要条件等基础知识解析 对，错5. 解析 由得：，则6. 解析 本题考查线性规划.由线性约束条件画出可行域如图阴影部分所示，目标函数，变形为只在处取得最大值，则或，可得或，由时在点处取得最大值，所以ABCDE7. 解析 本题考查三视图还原直观图的方法，几何体体积的计算，考查空间想象能力及运算求解能力.解析 如图，在棱长为2的正方体中，点为正方体的顶点，点为所在棱的中点，由三视图还原后的几何体为四棱锥，分析知四棱锥的侧面底面，点到直线的距离即为棱锥的高，易求得为，故四棱锥的体积为8. 解析 本题考查
9、向量的几何运算及向量的模。因为与为单位向量，且，故可设又 2，即，其表示圆心为（1，1），半径的圆，.9. 解析 本题考查三角函数的图象变换与性质. 易知由经向左向下平移后，得到由已知得函数的最小正周期为，则，当时，解得.10. 解析 11. 解析 本题考查多面体与球及线线，线面垂直。根据题意，该正方体的内切球半径为，由题意，取的中点N，连接CN，则，正方体，CN为DP在平面中的射影，点P的轨迹为过D，C，N的平面（平面CNQD，Q为AA1的中点）与内切球的交线（圆），正方体的棱长为，设球心O在平面ADD1A1的投影为O，取DD1的中点F，则有，作易得，即为O到截面圆的距离，如图所示，=，由平
10、面几何知识易得：，则，即，O到截面圆的距离为1，截面圆的半径距离为1，截面圆的半径为，点P的轨迹长度为：.12. 解析 本题考查导数的应用. 设，则，即函数在R 上单调递减，因为，即导函数关于直线对称，所以函数是中心对称图形，且对称中心（2，1），由于，即函数过点（4，0），其关于点（2，1）的对称点（0，2）也在函数上，所以有，所以，而不等式即，即所以，故使得不等式成立的的取值范围是. 13. 2 14.15. 解析16. 解析 本题考查椭圆离心率的求法：因为轴且，假设在第一象限，则，过作轴于，则易知，由得，所以所以，代入椭圆方程得，即又，所以，所以椭圆离心率为.17. 解:（1）由题意知（
11、2分）于是，故数列的公差为3，故， （4分）所以 （6分）（2）由（1）知，数列为等差数列. （12分）18. 解:（1）因为又回归直线必过样本中心点，则故回归直线方程为，当时，即的预报值为24. （4分）（2）因为又.所以即，又.所以，均不超过10%，因此可以使用位置最接近的已有旧井6（1，24）. （8分）（3）由题意，1、3、5、6这4口井是优质井，2，4这两口井是非优质井，勘探出优质井数的所有可能取值为2，3，4，所以的分布列为：234所以（12分）19. （1） 证明：在等腰梯形中，由平面几何知识易得，又，由余弦定理可得，则，故,折叠后，又，故面，而面，故 （6分）（2）由（1）知面
12、，以点为坐标原点，以所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则则，设平面的法向量为，则即.取则故同理可求得平面的法向量设二面角的平面角为，则，结合图形可知.（12分）20. 解：(1)由题意可知：动点到定点的距离等于到定直线的距离，根据抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线。 （2分），抛物线方程为： （4分）（2）设两点坐标分别为，则点的坐标为由题意可设直线的方程为，由得.（5分）因为直线与曲线于两点，所以，所以点的坐标为.（6分）由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.（7分）当时，有，此时直线的斜率.所以，直线的方程为，整理得. 于是，直线恒过定点；（10分）当时，直线的方程为，也过点（11分）综上所述，直线恒过定点 （12分）21. 解：（12分）（11分）（8分）（7分）（5分）22. 解： （1）曲线的普通方程为化简得，则，所以曲线的极坐标方程为（4分）（2）由直线的参数方程可知，直线必过点，也就是圆的圆心，则不妨设，其中则所以当时，取得最大值为.（10分）23. 解：（1）若，则，得，即时恒成立；若，则，得，即；若，则，得，即不等式无解.综上所述，的取值范围是.（5分）（2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需当时，当时，则，解得，结合，所以的取值范围是（10分）
