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1、2020届江苏高三高考数学全真模拟试卷01数学试题I一、填空题(共70分)1、已知集合Axx22x0,B0,2,4,CAB,则集合C的子集共有个.答案:4解析:Ax0x2,所以,CAB0,2,集合C的子集有:,0,2,2,4,共4个。2、已知复数z满足为虚数单位),则z的共轭复数.答案:解析:由,得,即,所以,3、已知双曲线的一条渐近线方程为x3y0,则m.答案:9解析:的渐近线方程为:,又双曲线的一条渐近线方程为x3y0,即,所以,m94、随机抽取100名年龄在10,20),20,30),50,60)年龄段的市民进行问卷调查,由此得到样本的频率分布直方图如图所示,从不小于40岁的人中按年龄段
2、分层抽样的方法随机抽取8人,则在50,60)年龄段抽取的人数为.答案:2解析:不小于40岁的人数为:(0.015+0.005)1010020,不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人,比例为:,50,60)年龄段抽取的人数为:0.005101002.5、为强化环保意识,环保局每周从当地的5所化工厂(甲,乙,丙,丁,戊)中随机抽取3所进行污水合格检测,则在一周抽检中,甲,乙化工厂都被抽测的概率是.答案:解析:5所化工厂中随机抽取3所,所有可能为:甲乙丙,甲乙丁,甲乙戊,甲丙丁,甲丙戊,甲丁戊,乙丙丁,乙丙戊,乙丁戊,丙丁戊,共10种,甲,乙化工厂都被抽测的有:甲乙丙,甲乙丁,甲乙戊,
3、共3种,所以,所求的概率为:6、如图,若输入的x值为,则相应输出的值y为.答案:解析:x时,sin,cos,所以,sincos成立,执行“Y”,即输出ycos。7、已知一个圆锥的底面半径为cm,侧面积为6cm2,则该圆锥的体积是cm3.答案:解析:圆锥的母线长为l,则圆锥的侧面积为:,解得:,圆锥的高h,所以,圆锥的体积为:V8、已知实数x,y满足,则的取值范围是.答案:解析:不等式组表示的平面区域如下图,看成是平面区域内取一点P(x,y)与点Q(0,1)的连线的斜率,由图可知,直线AQ的斜率最小,无最大值,点A的坐标为(3,1),kAQ,所以,的取值范围是。9、在ABC中,角A,B,C的对边
4、分别为a,b,c,若a2,b3,C2A,则cosC的值为.答案:解析:因为C2A,所以,sinCsin2A,即sinC2sinAcosA,由正弦定理,得:c2acosA,所以,cosA,又由余弦定理,得:cosA,解得:10,cosC10、已知F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,点A,B分别是椭圆E的右顶点和上顶点,若直线AB上存在点P,使得PF1PF2,则椭圆C的离心率e的取值范围是.答案:解析:如下图,依题意,得A(a,0),B(0,b),F1(c,0),F2(c,0),直线AB的方程为:,点P在直线AB上,设P点坐标为(),由PF1PF2,得,0,即0,即0,化简,为:0(1)直线AB上存
5、在点P,使得PF1PF2,即方程(1)有解,所以,化简,得:,即,化简,得:,即,即,解得:,即,即,即,又椭圆中0e1,所以,11、已知an是等差数列,a515,a1010,记数列an的第n项到第n5项的和为Tn,则|Tn|取得最小值时n的值为_答案:5或6解析:因为a515,a1010,所以公差d5,所以a1a54d35,所以ana1(n1)d355(n1)5n40,an55n15,Tn15(112n),当112n1,即n5或6时,|Tn|取得最小值15.12、在平面四边形OABC中,已知,OAOC,ABBC,ACB60,若6,则.答案:3解析:以O为原点建立平面直角坐标系,如下图,设C(
6、0,y),因为OAOC,所以,因为ABBC,ACB60,所以,cos60,6,解得:y3,所以,313、已知函数f(x)ln(x),若正实数a,b满足f(2a)f(b1)0,则的最小值是_答案:32解析:f(x)ln(x)的定义域为R,且f(x)f(x)ln(x)ln(x)ln(x21x2)0,所以若f(2a)f(b1)0,则一定有2ab10,即2ab1.故21.又a0,b0,所以2,当且仅当ba时等号成立,所以的最小值为32.14、定义mina,b,已知函数,若恰好有3个零点,则实数m的取值范围是.答案:解析:当m0时,的图象在x轴上方的增函数,无零点,至多有2个零点,与题意不符,所以,m0
7、。当m0时,的零点为:,的零点为:,(1)若1,则有,画出函数图象如下图,由图可知,要有3个零点,须:1,即,即,所以,。(2)若1,则有,画出函数图象如下图,由图可知,要有3个零点,须:,即0,令:即,求导,得:,对于函数,1870,所以,恒成立,即0恒成立,所以,函数-是减函数,又f(1)0,所以,要0,须m1所以,。综上可知,实数m的取值范围是二、解答题(共90分)15、(本小题满分14分)在斜三棱柱ABCA1B1C1中,M为CC1的中点,N为AB的中点,平面ABC平面ABB1A1.(1) 求证:MN平面A1BC1;(2) 若ABBC,ABBB1,求证:AC1A1B.证明:(1) 如图,
8、连结AB1交A1B于点O,连结ON,C1O,在平行四边形ABB1A1中,O,N分别为A1B,AB的中点,所以ONAA1,ONAA1.在平行四边形AA1C1C中,AA1CC1,AA1CC1,又M为CC1的中点,所以ONC1M,ONC1M,所以四边形ONMC1是平行四边形,所以MNOC1.因为MN平面A1BC1,OC1平面A1BC1,所以MN平面A1BC1.(2) 在平行四边形ABB1A1中,ABBB1,所以四边形ABB1A1为菱形,所以AB1A1B.因为平面ABC平面ABB1A1,平面ABC平面ABB1A1AB,ABBC,所以BC平面ABB1A1,所以A1BBC,所以A1BB1C1.又AB1B1
9、C1B1,所以A1B平面AB1C1.又AC1平面AB1C1,所以A1BAC1.16、(本小题满分14分)已知sin(),(,)(1) 求cos 的值;(2) 求sin(2)的值解:(1) (解法1)因为,所以.又sin,所以cos.所以cos coscoscos sinsin .(解法2)由sin,得sincoscossin,即sin cos .又sin2cos21,由解得cos 或cos .因为,所以cos .(2) 因为,cos ,所以sin .所以sin 22sincos2,cos 22cos2121.所以sinsin2coscos2sin.17、(本小题满分14分)在平面直角坐标系xO
10、y中,已知椭圆C:1(ab0)的离心率e,设椭圆的左顶点为A,下顶点为B,原点到直线AB的距离为,过x轴正半轴上一点F作直线l交椭圆于M,N两点(其中M在N的上方),直线AM交y轴于点E.(1) 求椭圆C的方程;(2) 当N点和B点重合时,求证:四边形ANFE的面积为定值解:(1)由已知可知A(a,0),B(0,b),所以直线AB的方程为bxayab0.因为原点到直线AB的距离为,所以.由题意可知a2b2c2,解得所以椭圆C的方程为y21.(2) 证明:设M(x0,y0)(x00,y00),且y1,即x4y4.则直线AM的方程为y(x2),令x0,得y.直线MN的方程为y1x,令y0,得x.所
11、以四边形ANFE的面积S2.即四边形ANFE的面积为定值2.18、(本小题满分14分)如图,某机械厂欲从AB2米,AD2米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件,裁剪要求如下:点E,F分别在边BC,AD上,且EBEF,AFBE.设BEF,四边形ABEF的面积为f()(单位:平方米)(1) 求f()关于的函数关系式,并求出定义域;(2) 当BE,AF的长为何值时,裁剪出的四边形ABEF的面积最小,并求出最小值解:(1) 过点F作FMBE,垂足为M.在RtFME中,MF2,EMF,FEM,所以EF,ME,故AFBMEFEM,所以f()(AFBE)AB2.又AFBE,所以,且当点E重
12、合于点C时,EFEB2,FM2,所以函数f(),定义域为.(2) 由(1) 可知,f()23tan22,当且仅当3tan时,不等式取等号又,故tan,BE,AF.所以当BE,AF的长度分别为米,米时,裁剪出的四边形ABEF的面积最小,最小值为2平方米19、(本小题满分14分)已知函数f(x)xln x,g(x).(1) 求函数f(x)在xe处的切线方程;(2) 若至少存在一个x01,e使f(x0)g(x0)成立,求实数a的取值范围;(3) 设kZ且f(x)(k3)xk2在x1时恒成立,求整数k的最大值解:(1) f(x)ln x1, f(e)2,由f(e)e, 函数f(x)在xe处的切线方程为
13、ye2(xe),即2xye0.(2) 若存在一个x01,e使f(x0)g(x0)成立,即x0ln x0,则a.令h(x),当x1,e时,h(x)0恒成立因此,h(x)在1,e上单调递增,故当x1时,h(x)min0.即实数a的取值范围是(0,)(3) 由题意得xln x(k3)xk2在x1时恒成立,即k.令F(x),则F(x).令m(x)xln x2,则m(x)10在x1时恒成立 m(x)在(1,)上单调递增,且m(3)1ln 30,m(4)2ln 40. 在(1,)上存在唯一实数b(b(3,4),使m(x)0,即m(b)0.当1xb时,m(x)0,即F(x)0. F(x)在(1,b)上单调递减,在(b,)上单调递增 F(x)minF(b)b2(5,6)