《2020年全国高考数学第二轮复习 专题五 立体几何第3讲 用空间向量的方法解立体几何问题 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年全国高考数学第二轮复习 专题五 立体几何第3讲 用空间向量的方法解立体几何问题 理（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题五立体几何第3讲用空间向量的方法解立体几何问题真题试做1(2020陕西高考，理5)如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1，CACC12CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A B C D2(2020四川高考，理14)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是_3(2020山东高考，理18)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面ABCD，AEBD，CBCDCF.(1)求证：BD平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值4(2020福建高考，理18)如图，在长
2、方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长5(2020天津高考，理17)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)证明PCAD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长考向分析从近几年的高考试题来看，高考对本专题的考查主要有以下几个方面：一是证明空间平行关系，如(2020福建高考，理
3、18)的第(2)问；二是利用空间向量证明垂直关系，如(2020山东高考，理18)的第(1)问和(2020福建高考，理18)的第(1)问；三是利用空间向量求角，如(2020山东高考，理18)的第(2)问；(2020天津高考，理17)的第(2)问和(2020四川高考，理14)，此类问题多以多面体为载体，常以解答题的形式出现，重在考查学生的空间想象能力本专题是高考的必考内容之一，通常为一道综合题，常出现在几道解答题的中间位置，难度不是很大在多数情况下，传统法、向量法都可以解决，但首先应考虑向量法，这样可以降低难度预测在今后高考中，本部分内容仍旧主要以解答题的形式出现，难度为中档考查内容仍旧是利用空间
4、向量的数量积及坐标运算来解决立体几何问题，其中利用空间向量求空间角仍然是重点热点例析热点一利用空间向量证明平行问题【例】如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点求证：B1C平面ODC1.规律方法利用空间向量证明平行问题的方法(1)线线平行：直线与直线平行，只需证明它们的方向向量平行(2)线面平行：利用线面平行的判定定理，证明直线的方向向量与平面内一条直线的方向向量平行；利用共面向量定理，证明平面外直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量共面；证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(3)面面平行：平面与平面的平行，除了利用面面平行的判定定理转化为线面平行外，只要证明
5、两个平面的法向量平行即可下面用符号语言表述为：设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，平面，的法向量分别为u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(1)线线平行：lmabakba1ka2，b1kb2，c1kc2.(2)线面平行：lauau0a1a3b1b3c1c30.(3)面面平行：uvukva3ka4，b3kb4，c3kc4.变式训练1如图，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.热点二利用空间向量证明垂直问题【例
6、】如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB于点F，求证：(1)PA平面EDB；(2)PB平面EFD.规律方法利用空间向量证明垂直问题的方法(1)线线垂直：直线与直线的垂直，只要证明两条直线的方向向量垂直(2)线面垂直：利用线面垂直的定义，证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直；利用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直；证明直线的方向向量与平面的法向量平行(3)面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外，只要证明两个平面的法向量垂直即可下面用符号语言
7、表述为：设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)平面，的法向量分别为u(a3，b3，c3)，v(a4，b4，c4)(1)线线垂直：lmabab0a1a2b1b2c1c20.(2)线面垂直：lauakua1ka3，b1kb3，c1kc3.(3)面面垂直：uvuv0a3a4b3b4c3c40.变式训练2如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB2，BAD60.(1)求证：BD平面PAC；(2)若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长热点三利用空间向量求角和距离【例】如图所示，在三棱柱ABC
8、A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA12，C1H平面AA1B1B，且C1H.(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN平面A1B1C1，求线段BM的长规律方法(1)夹角计算公式两条异面直线的夹角若两条异面直线a和b的方向向量分别为n1，n2，两条异面直线a和b所成的角为，则cos |cosn1，n2|.直线与平面所成的角若直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，直线a与平面所成的角为，则sin |cosa，n|.二面角设n1，n2分别为二面角的两个半平面的法向量，其二面角为，则
9、n1，n2或n1，n2，其中cosn1，n2.(2)距离公式点点距离：点与点的距离，是以这两点为起点和终点的向量的模；点线距离：点M到直线a的距离，设直线的方向向量为a，直线上任一点为N，则点M到直线a的距离d|sin，a；线线距离：两条平行线间的距离，转化为点线距离；两条异面直线间的距离，转化为点面距离或者直接求公垂线段的长度；点面距离：点M到平面的距离，如平面的法向量为n，平面内任一点为N，则点M到平面的距离d|cos，n|；线面距离：直线和与它平行的平面间的距离，转化为点面距离；面面距离：两平行平面间的距离，转化为点面距离变式训练3已知ABCDA1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱，O
10、1为A1C1与B1D1的交点(1)设AB1与底面A1B1C1D1所成角的大小为，二面角AB1D1A1的大小为.求证：tan tan ；(2)若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCDA1B1C1D1的高热点四用向量法解决探索性问题【例】如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，求二面角PACD的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC？若存在，求SEEC的值；若不存在，请说明理由规律方法(1)用空间向量解决立体几何问题的步骤及注意事项建立空间直角坐标系，要写理由，
11、坐标轴两两垂直要证明；准确求出相关点的坐标(特别是底面各点的坐标，若底面不够规则，则应将底面单独抽出来分析)，坐标求错将前功尽弃；求平面法向量；根据向量运算法则，求出三角函数值或距离；给出问题的结论(2)利用空间向量巧解探索性问题空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行繁杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断在解题过程中，往往把“是否存在”问题，转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题变式训练4如图，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD90，且PAAD2；E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中
12、点(1)求证：PB平面EFG；(2)求异面直线EG与BD所成的角的余弦值；(3)在线段CD上是否存在一点Q，使得A到平面EFQ的距离为？若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由思想渗透转化与化归思想利用向量解决空间位置关系及求角问题主要问题类型：(1)空间线面关系的证明；(2)空间角的求法；(3)存在性问题的处理方法求解时应注意的问题：(1)利用空间向量求异面直线所成的角时，应注意角的取值范围；(2)利用空间向量求二面角的平面角时，应注意观察二面角是钝角还是锐角【典型例题】(2020北京高考，理16)如图1，在RtABC中，C90，BC3，AC6.D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，D
13、E2，将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2.图1图2(1)求证：A1C平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；(3)线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由解：(1)因为ACBC，DEBC，所以DEAC.所以DEA1D，DECD.所以DE平面A1DC.所以DEA1C.又因为A1CCD，所以A1C平面BCDE.(2)如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz，则A1(0,0,)，D(0,2,0)，M(0,1，)，B(3,0,0)，E(2,2,0)设平面A1BE的法向量为n=(x，y，z)，则n=0，n=0.又=
14、(3,0，)，=(1,2,0)，所以令y=1，则x=2，.所以n=(2,1，)设CM与平面A1BE所成的角为.因为=(0,1，)，所以sin |cosn，|，所以CM与平面A1BE所成角的大小为.(3)线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p0,3设平面A1DP的法向量为m(x，y，z)，则m0，m0.又(0,2，2)，(p，2,0)，所以令x2，则yp，z，所以m.平面A1DP平面A1BE，当且仅当mn0，即4pp0.解得p2，与p0,3矛盾所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直1已知(1,5，2)，(3,1，z)，若(x1，y，3)，且BP平面ABC，则实数x，y，z的值分别为()A，4 B，4C，2,4 D4，15
