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1、习题与思考题三解答1. 简述光学谐振腔的作用。2. CO2激光器的腔长L=100cm，反射镜直径D=1.5cm，两镜的光强反射系数分别为r1=0.985，r2=0.8。求由衍射损耗及输出损耗分别引起的,。解答1衍射损耗: 输出损耗: 解答2：（1）输出损耗由腔镜反射不完全引起。初始光强为I0在无源腔内往返一次后光强衰减为I1，则：（2）衍射损耗：腔的菲涅耳数3. 利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意近轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。证明如下：（共焦腔的定义两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。公共焦点在腔内的共 焦腔是实共焦腔，反之是虚
2、共焦腔。两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。）根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。设两个凹镜的曲率半径分别是和，腔长为，根据对称共焦腔特点可知：因此，一次往返转换矩阵为把条件带入到转换矩阵T，得到：共轴球面腔的稳定判别式子如果或者，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来定。本题中 ，因此可以断定是介稳腔（临界腔），下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。经过两个往返的转换矩阵式，坐标转换公式为：其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经
3、过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。4. 分别按下图3-48(a)(b)中的往返顺序，推导近轴光线往返一周的光学变换矩阵ABCD，并证明这两种情况下的 12(A+D)相等。解： (a) (b) 5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52.求腔长L在什么范围内是稳定腔？解答如下：设腔长为，腔的光学长度为，已知，根据，代入已知的凸凹镜的曲率半径，得到：因为含有工作物质，已经不是无源腔，因此，这里L应该是光程的大小（或者说是利用光线在均匀介质里传播矩阵）。即，代入上式，得到：要达到稳定腔的条件，必须是，按照这个条件，得到腔
4、的几何长度为：，单位是米。解答完毕。6. 设光学谐振腔两镜面曲率半径R1=-1m，R2=1.5m，试问：腔长L在什么范围内变化时该腔为稳定腔？解： 所以： 7. R=100cm,L=40cm的对称腔，相邻纵模的频率差为多少？8. 腔长为0.5m的氩离子激光器，发射中心频率0=5.851014Hz，荧光线宽=6108Hz。问可能存在几个纵模?相应的q值为多少？解：纵模间隔为:，则可能存在的纵模数有3个，它们对应的q值分别为：，q1=1950001，q119499999. He-Ne激光器的中心频率0=4.741014Hz，荧光线宽=1.5109Hz，腔长L=1m，问可能输出的纵模数为多少？为获得
5、单纵模输出，腔长最长为多少？解：（1） =1.5Hz输出纵模数为 N=+1=+1=11（2） ，即=1.5/L1.5则L0.1m, 腔长最长不能超过0.1m10. 有一个谐振腔，腔长L=1m，两个反射镜中，一个全反，一个半反。半反镜反射系数r=0.99。求在1500MHz的范围内所包含的纵模个数，及每个纵模的线宽（不考虑其它损耗）。解：（1） =1.5Hz输出纵模数为 N=+1=+1=11所以输出纵模数为11.（2）透射损耗=0.005线宽 11. 求方形镜共焦腔镜面上的TEM30模的节线位置，这些节线是等距分布的吗？（可以0s为参数）解答2：方形镜共焦腔自再现模满足的积分方程式为经过博伊德戈
6、登变换，在通过厄密-高斯近似，可以用厄密-高斯函数表示镜面上场的函数使就可以求出节线的位置。由上式得到：，这些节线是等距的。解答完毕。12. 试写出圆形镜共焦腔TEM20和TEM02模在镜面上场的分布函数02(r,)和20(r,)，并计算各节线的位置。解答：圆形镜共焦腔场函数在拉盖尔高斯近似下，可以写成如下的形式（这个场对应于，两个三角函数因子可以任意选择，但是当m为零时，只能选余弦，否则整个式子将为零）对于：并且，代入上式，得到，取余弦项，根据题中所要求的结果，取，就能求出镜面上节线的位置。既对于，可以做类似的分析。，代入上式并使光波场为零，得到显然，只要即满足上式.最后镜面上节线圆的半径分
7、别为：解答完毕。13. 从镜面上的光斑大小来分析，当它超过镜子的线度时，这样的横模不可能存在。试估算在腔长l=30cm，镜面线度2a=0.2cm的He-Ne激光方形镜共焦腔中所可能出现的最高阶横模的阶次是多大？14. 稳定双凹球面腔腔长L=1m,两个反射镜的曲率半径分别为R1=1.5m,R2=3m，求它的等价共焦腔腔长，并画出它的位置。解答：15. 对称双凹球面腔腔长为L，反射镜的曲率半径R=2.5L，光波长为，求镜面上的基模光斑半径。解：因为为对称球面腔，所以假设Z10，并且z2=-z1=z，f为等价共焦腔焦距,所以等价共焦腔腔长L=2f=2L。所以镜面上基模光斑半径为=16. 有一凹凸腔H
8、e-Ne激光器，腔长L=30cm，凹面镜的曲率半径R1=50cm，凸面镜的曲率半径R2=30cm.(1) 利用稳定性条件证明此腔为稳定腔。(2) 求此腔产生的基模高斯光束的腰斑半径及束腰位置。(3) 求此腔产生的基模高斯光束的远场发散角。17. 有一平凹腔，凹面镜曲率半径R=5m,腔长L=1m，光波长=0.5m.求：（1） 两镜面上的基模光斑半径；（2） 基模高斯光束的腰斑半径及束腰位置；（3） 基模高斯光束的远场发散角。解：(1) 等价共焦腔腔长L=2f=4m，=0.5m, (2) 腰斑半径，束腰在z=0处，与平面镜重合。 18. 设计一对称光学谐振腔，腔长L=2m,波长=10.6m.如选择
9、凹面镜曲率半径R=L，试求镜面上光斑尺寸。若保持L不变，选择RL，并使镜面上光斑尺寸0s=0.3cm,问此时镜的曲率半径和腔中心光斑尺寸多大？解：（1）镜面光斑尺寸（此时可把它看作对称共焦腔）：（2）此时不能当作对称共焦腔，但是仍然是对称光学谐振腔，只是，根据（3-160）式可得镜面光斑尺寸为（舍去一个与L近似相等的解R=1.204m）：（3）19. 某共焦腔Ne-Ne激光器，波长=0.6328m,若镜面上基模光斑尺寸为0.5mm，试求共焦腔的腔长。若腔长保持不变，而波长=3.39m，此时镜面上光斑尺寸为多少？解：（1）因为镜面上光斑尺寸为：，所以等价共焦腔腔长 当=0.6328，=0.5mm
10、时， =1.24m (2)当=3.39时，=1.16m20. 图3-49为四平面反射镜（M1M4）构成的环形腔，在M1和M4之间放置一个薄透镜，其焦距为f(0)，整个腔长为L=2(2L1+L2)。（1） 确定该腔的稳定性区间。（2） 画出该腔的双球面镜等价腔，并标出腔参数。（3） 若f=20cm,L1=5cm,L2=10cm,=514.5nm.求该腔的束腰大小，位置和谐振频率。21. 一台激光器如图3-50所示，一个长度为d的激光介质置于腔长为L的平凹腔中，平面镜M1为全反镜，球面镜M2的曲率半径为R2，反射系数为r2，不考虑增益介质，（1）确定激光器的稳定性条件；（2）求束腰的大小及位置；（3）求输出镜处的光束曲率半径。22. 一虚共焦非稳腔，工作波长=1.06m,腔长L=0.3m,有效菲涅尔数Nef=0.5,往返损耗率=0.5，试求单端输出时，镜M1和M2的线度和曲率半径。14
