《2020届高三数学二轮复习 专题三 第3讲 推理与证明教案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高三数学二轮复习 专题三 第3讲 推理与证明教案（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第3讲推理与证明自主学习导引真题感悟1(2020江西)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10A28B76C123D199解析观察规律，归纳推理从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123.答案C2(2020福建)某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案方案设计图中，点表示城市，两点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的线路图如
2、图(1)，则最优设计方案如图(2)，此时铺设道路的最小总费用为10.现给出该地区可铺设道路的线路图如图(3)，则铺设道路的最小总费用为_解析根据题目中图(3)给出的信息及题意，要求的是铺设道路的最小总费用，且从任一城市都能到达其余各城市，可将图(3)调整为如图所示的结构(线段下方的数字为两城市之间铺设道路的费用)此时铺设道路的总费用为23123516.答案16考题分析具备一定的推理与证明能力是高考的一项基本要求归纳推理是高考考查的热点，这类题目具有很好的区分度，考查形式一般为选择题或填空题网络构建高频考点突破考点一：合情推理【例1】(1)(2020武昌模拟)设fk(x)sin2kxcos2kx
3、(xR)，利用三角变换，估计fk(x)在k1,2,3时的取值情况，对kN时推测fk(x)的取值范围是_(结果用k表示)(2)在平面几何里，有“若ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为SABC(abc)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为_”审题导引(1)由f1(x)、f2(x)、f3(x)的取值范围观察规律可得；(2)注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论规范解答(1)当k1，f1(x)sin2xcos2x1.当k2时，f2(x)sin4xcos4
4、x(sin2xcos2x)22sin2xcos2x1sin22x.0sin22x1，f2(x).当k3时，f3(x)sin6xcos6x(sin2xcos2x)(sin4xsin2xcos2xcos4x)13sin2xcos2x1sin22x.0sin22x1，f3(x)，故可推测fk(x)1.(2)三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径二维图形中类比为三维图形中的，得V四面体ABCD(S1S2S3S4)r.故填V四面体ABCD(S1S2S3S4)r.答案(1)fk(x)1(2)V四面体ABCD(S1S2S3S4)r【规律总结】归纳推
5、理与类比推理之区别(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理在进行归纳时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论(2)类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质在进行类比时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后类比推导类比对象的性质【变式训练】1若数列an(nN)是等差数列，则有通项为bn(nN)的数列bn也为等差数列，类比上述性质，若数列cn是等比数列，且cn0，则有通项为dn_(nN)的数列dn也是等比数列解析cn是等比数列，且cn0，lg cn是等差数列，令dn，则lg
6、dn，由题意知lg dn为等差数列，dn为等比数列答案2平面内有n条直线，其中任何两条都不平行，任何三条不过同一点，试归纳它们的交点个数解析n2时，交点个数：f(2)1.n3时，交点个数：f(3)3.n4时，交点个数：f(4)6.n5时，交点个数：f(5)10.猜想归纳：f(n)n(n1)(n2)考点二：演绎推理【例2】求证：a，b，c为正实数的充要条件是abc0，且abbcca0和abc0.审题导引由a、b、c为正实数，显然易得abc0，abbcca0，abc0，即“必要性”的证明用直接法易于完成证明“充分性”时，要综合三个不等式推出a、b、c是正实数，有些难度、需用反证法规范解答(1)证必
7、要性(直接证法)：因为a、b、c为正实数，所以abc0，abbcca0，abc0.所以必要性成立(2)证充分性(反证法)：假设a、b、c不全为正实数(原结论是a、b、c都是正实数)，由于abc0，则它们只能是二负一正不妨设a0，b0，c0，又由于abbcac0a(bc)bc0，因为bc0，所以a(bc)0.又a0，所以bc0.而abc0，所以a(bc)0.所以a0，与a0的假设矛盾故假设不成立，原结论成立，即a、b、c均为正实数【规律总结】1演绎推理问题的处理方法从思维过程的指向来看，演绎推理是以某一类事物的一般判断为前提，而作出关于该类事物的判断的思维形式，因此是从一般到特殊的推理数学中的演
8、绎法一般是以三段论的格式进行的三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合于这个原理的一个特殊情形，结论则是大前提和小前提的逻辑结果2适用反证法证明的六种题型反证法是一种重要的间接证明方法，适用反证法证明的题型有：(1)易导出与已知矛盾的命题；(2)否定性命题；(3)唯一性命题；(4)至少至多型命题；(5)一些基本定理；(6)必然性命题等 【变式训练】3若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，xn，总满足f(x1)f(x2)f(xn)f，称函数f(x)为D上的凸函数现已知f(x)sin x在(0，)上是凸函数，则在ABC中，sin Asi
9、n Bsin C的最大值是_解析因为凸函数满足f(x1)f(x2)f(xn)f，(大前提)f(x)sin x在(0，)上是凸函数，(小前提)所以f(A)f(B)f(C)3f，(结论)即sin Asin Bsin C3sin .因此sin Asin Bsin C的最大值是.考点三：数学归纳法【例3】设数列an的前n项和为Sn，且S(an2)Sn10,1Snanbn(nN)(1)求a1，a2的值和数列an的通项公式；(2)若正项数列cn满足：cn(nN，0a1)，求证： 1.审题导引(1)由于S(an2)Sn10中含有S，通过升降角标的方法无法把Sn转化为an，这样就需要把an转化为SnSn1(n
10、2)，通过探求Sn，然后根据求得的Sn求an的通项公式；(2)根据(1)求得的结果，根据的结构确定放缩的方法求证规范解答(1)S(a12)S110a1，S(a22)S210a2.S(an2)Sn10，当n2时，anSnSn1，代入式，得SnSn12Sn10，又由S1，S2a1a2，S3.猜想Sn.下面用数学归纳法证明：当n1时，显然成立；假设当nk时，Sk，则nk1时，Sk1Sk2Sk110，Sk1成立综合，可知猜想成立所以当n2时，anSnSn1，当n1时也满足，故an(nN)(2)证明由(1)，得bnn，cn，则 11.【规律总结】使用数学归纳法需要注意的三个问题在使用数学归纳法时还要明确
11、：(1)数学归纳法是一种完全归纳法，其中前两步在推理中的作用是：第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，二者缺一不可；(2)在运用数学归纳法时，要注意起点n，并非一定取1，也可能取0,2等值，要看清题目；(3)第二步证明的关键是要运用归纳假设，特别要弄清楚由k到k1时命题变化的情况【变式训练】4(2020青岛二模)已知集合Axx2n1，nN，Bxx6n3，nN，设Sn是等差数列an的前n项和，若an的任一项anAB且首项a1是AB中的最大数，750S10300.(1)求数列an的通项公式；(2)若数列bn满足bn令Tn24(b2b4b6b2n)，试比较Tn与的大小解析(1)根据题设可得：集合A
12、中所有的元素可以组成以3为首项，2为公差的递减等差数列；集合B中所有的元素可以组成以3为首项，6为公差的递减等差数列由此可得，对任意的nN，有ABB，AB中的最大数为3，即a13，设等差数列an的公差为d，则an3(n1)d，S1045d30，750S10300，75045d30300，即16d6，由于B中所有的元素可以组成以3为首项，6为公差的递减等差数列，所以d6m(mZ，m0)，由166m6m2，所以d12，所以数列an的通项公式为an912n(nN)(2)bnn，Tn24(b2b4b6b2n)2424，Tn24，于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n1的大小，由2211,2222
13、1,23231,24241，可猜想当n3时，2n2n1，证明如下：证法一当n3时，由上验算可知成立假设nk时，2k2k1，则2k122k2(2k1)4k22(k1)1(2k1)2(k1)1，所以当nk1时猜想也成立根据可知，对一切n3的正整数，都有2n2n1，当n1,2时，Tn，当n3时，Tn.证法二当n3时，2n(11)nCCCCCCCC2n22n1，当n1,2时，Tn，当n3时，Tn.名师押题高考【押题1】已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个整数对是A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)解析依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n1，且每组共有n个整数对，这样的前n组一共有个整数对，注意到60，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为
