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1、南通市2020届高三阶段性练习数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合，则=.2已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值是.3某同学次数学练习的得分依次为则这次得分的方差是.4根据如图所示的伪代码，当输入的为时，最后输出的的值是.5在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线的方程是.6某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从道题中随机抽取道作答.若该同学会其中的道题，则抽到的道题他都会的概率是.7将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象.若为奇函数，则的最小正值是.8已知非零向量与的夹角为，且则=.9已知等比数
2、列的各项均为正数，且成等差数列，则的值是.10在平面直角坐标系中，已知过点的圆与圆相切于原点，则圆的半径是.11唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图所示.已知球的半径为，酒杯内壁表面积为.设酒杯上部分(圆柱)的体积为，下部分(半球)的体积为，则的值是.12已知函数的图象与直线相交.若其中一个交点的纵坐标为,则的最小值是.13已知函数若关于的不等式的解集是，则的取值范围是.14如图，在中，点分别在上，且， .若与相交于点，则的取值范围是.二、解答题：本大题
3、共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）在斜三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c（1）若，且，求B的值；（2）若，求的值16（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是矩形，点E，F分别为，的中点求证：（1）BC；（2）平面17（本小题满分14分）如图，某森林公园内有一条宽为100米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼.三角形区域记为，到河两岸距离AE，AD相等，B，C分别在两岸上，ABAC.为方便游客观赏，拟围绕区域在水面搭建景观桥.为了使桥的总长度l（即的周
4、长）最短，工程师设计了以下两种方案：方案1：设，求出l关于的函数解析式，并求出的最小值.方案2：设米，求出l关于x的函数解析式，并求出的最小值.请从以上两种方案中自选一种解答.（注：如果选用了两种解答方案，则按第一种解答计分）18（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:（）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线与椭圆C交于P，Q两点，设直线OP，OQ的斜率分别为，.已知.求k的值；当的面积最大时，求直线的方程.19（本小题满分16分）已知数列的前n项和为，（1）若，,求的值；（2）若数列的前k项成公差不为0的等差数列
5、，求k的最大值；（3）若，是否存在，使为等比数列？若存在，求出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由20（本小满分16分）对于定义在D上的函数f（x），若存在，使恒成立，则称为“型函数”；若存在，使恒成立，则称为“型函数”.已知函数.（1）设函数（）.若，且为“型函数”，求k的取值范围；（2）设函数.证明：当，为“型函数”；（3）若，证明存在唯一整数，使得为“型函数”南通市2020届高三阶段性练习数学(附加题)21【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A.选修4-2：矩阵与变换（本小
6、题满分10分）已知矩阵A的逆矩阵.（1）求矩阵A；（2）若向量=，计算A2.B.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线（t为参数）.在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为,设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最大值.C.选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）若实数x，y，z满足，求的最小值.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22.（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线，过点的直线交抛物线于两点.当垂直于轴时，的面
7、积为.（1）求抛物线的方程；（2）设线段的垂直平分线交轴于点.证明: 为定值；若，求直线的斜率.23.（本小题满分10分）设（1）化简:；（2）已知.记 .证明: 能被整除.南通市2020届高三阶段性练习数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1 已知集合，则 【答案】2 已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则实数的值是 【答案】Read xIf x 0 Then m 2x +1Else m End IfPrint m（第4题）3 某同学5次数学练习的得分依次为114，116，114，114，117，则这5次得分的方差是 【答案】4 根据如图所示的伪代码，当输入的为时，最后输出的
8、的值是 【答案】5 在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线的方程是 【答案】6 某同学参加“新冠肺炎防疫知识”答题竞赛活动，需从4道题中随机抽取2道作答若该同学会其中的3道题，则抽到的2道题他都会的概率是 【答案】7 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象若为奇函数，则的最小正值是 【答案】8 已知非零向量与的夹角为，且，则 【答案】9 已知等比数列的各项均为正数，且，成等差数列，则的值是 【答案】10在平面直角坐标系中，已知过点的圆与圆相切于原点，则圆的半径是 【答案】11唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的（第11题 图1）
9、（第11题 图2）（第15题） 智慧与工艺它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑， 忽略杯壁厚度），如图2所示已知球的半径为， 酒杯内壁表面积为设酒杯上部 分（圆柱）的体积为，下部分（半球）的体积为，则的值是 【答案】212已知函数的图象与直线相交若其中一个交点的纵坐标为1，则的最小值是 【答案】13已知函数若关于的不等式的解集是，则的取值范围是 【答案】（第14题）（第15题）14如图，在中，点分别在上，且，若与相交于点，则的取值范围是 【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分 15（本小题满分14分）在斜三角形中，角的对边分别为（1）若，且，求的值；（2）若
10、，求的值【解】（1）在ABC中，由余弦定理得，化简得，即 2分因为，且（为外接圆半径），所以， 4分所以，所以为正三角形，所以 6分（2）因为，且，所以， 8分所以， 10分即，所以， 12分因为斜三角形中，所以，所以 14分16（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，平面平面，侧面是矩形，点分别为的中点求证：（1）；（2）平面【证】（1）因为侧面是矩形，所以，因为平面平面，ACA1C1BB1EGF（第16题）平面平面，平面，所以平面 4分因为平面， 所以 6分（2）取的中点，连结， 在中，分别是，的中点， 所以，且 8分 在矩形中，是的中点， 所以，且 所以，且 10分 所以四边形为平行四边形
11、，所以 12分 又因为平面，平面， 所以平面 14分17. (本小题满分14分)如图，某森林公园内有一条宽为米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼三角形区域记为，到河两岸的距离相等，分别在两岸上，为方便游客观赏，拟围绕区域在水面搭建景观桥为了使桥的总长度（即的周长）最短，工程师设计了以下两种方案： 方案1：设，求出关于的函数解析式，并求出的最小值方案2：设米，求出关于的函数解析式，并求出的最小值 请从以上两种方案中自选一种解答（注：如果选用了两种方案解答，则按第一种解答计分）（第17题）【解】方案1：（1）因为，所以，在中，所以， 2分因为，在和中，AB
12、=，AC=， 4分所以，所以，其中 7分（2）方法一：设则， 因为，所以， 9分因为，所以所以， 12分所以当时，答：景观桥总长的最小值为米 14分方法二：， 10分因为，所以，当时，单调递减，当时，单调递增 12分所以当时，取得最小值，最小值为米答：景观桥总长度的最小值为米 14分【解】方案2：（1）因为，所以，在中，所以所以， 所以 2分 因为， 所以 4分，所以， 7分（2）因为，所以 10分 12分 当且仅当，且，即时取“”所以， 答：景观桥总长的最小值为米 14分18（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，两准线之间的距离为（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别xyO（第18题图）QP为已知 求的值； 当的面积最大时，求直线的方程【解】（1）设椭圆的焦距为，则因为短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，所以又两准线间的距离为，则，所以，所以椭圆的标准方程为 3分（2）设，联立消去得，化简得，所以，又的斜率，的斜率，所以， 6分化简得，所以又因为，即，又，所以 8分由得，直线的方程为，且，又，所以所以， 10分点到直线的距离， 12分所以当且仅当，即时，的面积最大，所以，直线
