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1、第1章 三角形的证明1全等知识点定义：两个图形可以完全重合，或者说两个物体形状相同、大小相等，那么这两个图形全等。性质：对应角相等、对应边相等。判定（1）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等“边角边”简称“SAS” ；（2）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等“角边角”简称“ASA”；（3） 三组对应边分别相等的两个三角形全等“边边边”简称“SSS”；（4）有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等“角角边”简称“AAS”；（5）斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等“斜边、直角边”简称“HL”（直角三角形）；2等腰三角形知识点 定义：至少有两边相等的三角形叫等腰三角形。等腰三角形中
2、，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。性质1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（“三线合一”）。3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。7.一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。但等边三角形（特殊的等
3、腰三角形）有三条对称轴。每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。8.等腰三角形中腰长的平方等于底边上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。判定方法1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。2.在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。3.在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。（三线合一）4.在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。（三线合一）5.在一个三角形中，如果一条边上的中线与
4、该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。（三线合一）6.有两条角平分线（或中线，或高）相等的三角形是等腰三角形。7.有两边相等且有一个角的度数是60度的三角形是等边三角形。3等边三角形知识点定义：等边三角形（又称正三边形），为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60，它是锐角三角形的一种。等边三角形也是最稳定的结构。等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。性质(1)等边三角形是锐角三角形，等边三角形的内角都相等，且均为60。(2)等边三角形每条边上的中线、高线和角平分线互相重合（三线合一）(3)等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每
5、条边上的中线、高线 或角的平分线所在的直线。(4)等边三角形重心、内心、外心、垂心重合于一点，称为等边三角形的中心。（四心合一）(5)等边三角形内任意一点到三边的距离之和为定值(等于其高)(6)等边三角形拥有等腰三角形的一切性质。（因为等边三角形是特殊的等腰三角形判定(1)三边相等的三角形是等边三角形（定义）。 (2)三个内角都相等的三角形是等边三角形。(3)有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形。 (4) 两个内角为60度的三角形是等边三角形。说明:可首先考虑判断三角形是等腰三角形。4直角三角形知识点定义：有一个角为直角的三角形称为直角三角形。在直角三角形中，与直角相邻的两条边称为直角边
6、，直角所对的边称为斜边。直角三角形直角所对的边也叫作“弦”。若两条直角边不一样长，短的那条边叫作“勾”，长的那条边叫作“股”。等腰直角三角形：是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质：具有稳定性、内角和为180。两直角边相等，两锐角为45，斜边上中线、角平分线、垂线三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为此三角形外接圆的半径R。重要性质性质1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。AB+AC=BC（勾股定理)性质2:在直角三角形中，两个锐角互余。若BAC=90，则B+C=90（互余）性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（斜边中线定理）性质4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜
7、边上高的乘积。（面积相等）性质5射影定理：:如图，RtABC中，BAC=90，AD是斜边BC上的高（1）（AD)=BDDC。 （2）（AB)=BDBC。 （3）（AC)=CDBC。性质6:在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。反之,在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30。性质7:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。判定判定1：有一个角为90的三角形是直角三角形。判定2若：a+b=c则为直角三角形（勾股定理的逆定理）判定3：若一个三角形30内角所对的边是某一边的一半，则这个三角形是以这条长边为斜边
8、的直角三角形。判定4：两个锐角互为余角（两角相加等于90）的三角形是直角三角形。判定5：若两直线相交且它们的斜率之积互为负倒数，则两直线互相垂直。那么这个三角形为直角三角形。判定6：若在一个三角形中一边上的中线等于其所在边的一半，那么这个三角形为直角三角形判定7：一个三角形30角所对的边等于某一邻边的一半，则这个三角形为直角三角形。5角平分线知识点定义：从一个角的顶点引出一条射线（线在角内），把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线性质：1.角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。 2角平分线上的点到角的两边的距离相等。判定：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上垂直平分线知识点定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。性质：1.垂直平分线垂直且平分其所在线段. 2.垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等. 3.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,该点叫外心,并且这一点到三个顶点的距离相等.逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
