《高一数学正余弦定理及其应用人教版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高一数学正余弦定理及其应用人教版（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高一数学高一数学正余弦定理及其应用正余弦定理及其应用人教版人教版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 正余弦定理及其应用 典型例题典型例题 例 1 已知在中 试解该三角形 ABC 2 6 45 BCABA 解法一 解法一 由正弦定理 得 2 3 45sin 2 6 sin C 因 3 2 2 6sin AAB6 2 ABBC 由 则有二解 即或623 60C 120C 或 754560180B 1545120180B 故或 13sin sin ACB A BC AC13 AC 15 120BC 75 60BC 解法二 解法二 令 AC b 则由余弦定理 222 245cos62 6 b
2、b 130232 2 bbb 又Cbbcos222 6 222 或 60 2 1 cosCC 120C 或 75 6045 180B 15 12045 180B 例 2 在中 求三内角 A B C ABC 2 13 2 tan tan c b b bc B A A CB a 450 b c 解 解 由已知有 化简并利用正弦定理 b c B A2 1 tan tan B C BA BABA sin sin2 sincos sincoscossin B C BA BA sin sin2 sincos sin 0cossin2sin ACC 由 故0sin 60 2 1 cosAA 由 可设 2 1
3、3 c b 由余弦定理 得kckb2 13 kakkka6 13 24 13 22222 由正弦定理得 C c A a sinsin 2 2 6 2 3 2 sin sin k k a Ac C 由则 C 是锐角 故bc 75180 45CABC 例 3 在中 若且 求这个三角形的面积 ABC 4 5 ba 32 31 cos BA 解法一 解法一 由余弦定理得 c c bc acb A 8 9 2 cos 2222 c c ac bca B 10 9 2 cos 2222 由正弦定理得 BA BA sin 4 5 sin sin 4 sin 5 32 31 cos1 4 5 10 9 8 9
4、 2 22 B c c c c 32 31 10 9 1 4 5 80 81 2 2 2 4 c c c c 636 32 31 80 16282 2 2 2 cc c c 故 16 9 48 936 8 9 cos 2 c c A 7 16 5 sin A 4 715 sin 2 1 AcbS ABC 解法二 解法二 如图 作 AD 交 BC 于 D 令BACAD xCD 则由知 在中5 axADxBD 5 5CAD 由余弦定理 32 31 5 8 4 5 cos 222 x xx BA 化简得 在中由正弦定理199 xxCAD sin 4 sin sin sin sin BABA CD A
5、D C BA CD C AD 7 8 3 cos14 2 BA 7 4 15 8 73 54 2 1 sin 2 1 CBCACS ABC 例 4 在中 已知 A B C 成等差数列 且 ABC BCA 2 cossinsin 求三边 a b c 34 ABC S 解 解 由已知 得 又由 2 CA B 180CBA 60B 故 4 1 60cossinsin 2 CA 又由 BcaS ABC sin 2 1 34 16 4 3 34 acac 故64 sin sin sinsin 22 C c A a CA ac 8 sinsin C c A a 由3460sin8sin8 sin sin
6、B A Ba b 则 2 1 2 60coscos 222 ac bca B 即964848 3 222 caacbca 64 ca 把 与 联立 得 或 26 2 26 2 ca 26 2 26 2 ca 例 5 在中 已知 求 A B C 的大小 又ABC BCA2 32tantan CA 知顶点 C 的对边 C 上的高等于 求三角形各边 a b c 的长 34 A B C D a 解 解 由已知 及BCA2 120 60180CABCBA 由及 CA CA CA tantan1 tantan tan 32tantan 3 tan CACA 得 以为一元二次方程33tantan CACA
7、tan tan 的两个根 解方程 得032 33 2 xx 或或 32tan 1tan C A 1tan 32tan C A 75 45 C A 45 75 C A 若 则 75 45CA8 60sin 34 a64 45sin 34 b 13 4 45sin 75sin8 sin sin A Ca c 若 则 45 75CA 60sin 34 a 75sin 34 8 b 13 64 623 4 13 8 sin sin B Cb c 模拟试题模拟试题 一 选择题 1 已知中 则的面积 ABC 30 1 3BbaABC A B C 或D 或 2 3 4 3 2 3 3 2 3 4 3 2 在
8、中 三边长分别为 AB 7 BC 5 CA 6 则的值是 ABC BCBA A 18B 36C 19D 38 C A B 3 在中 则有 的值等ABC 1 60 bA3 ABC S CBA cba sinsinsin 于 A B C D 81 38 3 392 3 326 72 4 中 A B C 相应对边分别为 a b c 则 ABC AbBacoscos A B C D cCcos2Csin2 2 ba 5 在中 已知 则该的形状为 ABC AbBatantan 22 ABC A 等腰三角形B 直角三角形 C 正三角形D 等腰或直角三角形 6 已知满足 则该三角形的形状为 ABC BA B
9、A C coscos sinsin sin A 等腰三角形B 直角三角形 C 正三角形D 等腰或直角三角形 7 在中 若 则角 A 与 C 的大小关系是 ABC B A BAsin 2 tan tansin A B C A CD 不确定CA CA 8 已知中 则的度数为 ABC b bc B A 2 tan tan A A B C D 30 45 60 75 二 填空题 9 在中 已知 且最大角为 则最大的边长为 ABC bcaba2 4 120 10 三角形两边分别为 1 第三边上的中线长为 1 则该三角形的外接圆半径为 3 11 已知中 AB 6 则的面积等于 ABC 120 30BAAB
10、C 12 在四边形 ABCD 中 BC 1 DC 2 四个内角之比为 10 4 7 3 DCBA 则 AB 的长等于 13 不查表 80sin40sin50cos10cos 22 三 解答题 14 某观测站 C 在目标 A 的南偏西方向 从 A 出发有一条南偏东的走向的公路 25 35 在 C 处观测得与 C 相距 31 千米的公路上 B 点有一人正沿此公路向 A 走去 走 20 千米到 达 D 此时测得 CD 21 千米 求此人在 D 处距 A 还有多少千米 A D C 东 北 B 15 隔河可见对岸两目标 A B 但不能到达 现在岸边取相隔千米的 C D 两点 3 测得 A B C D 在
11、同一 30 45 75ADCBCDACB 45ADB 平面内 求两目标 A B 之间的距离 450 750 300 450 A B C D 3 试题答案试题答案 一 1 D 析 析 由有两解 abBasin 或或 60 2 3sin sin sinsin A b Ba A B b A a 120 90C 30C 又即得CabSsin 2 1 2 C 提示 提示 由 35 19 572 657 2 cos 222222 ac bca B 19 35 19 57cos BBCBABCBA 3 B 由正弦 所求即为 由 A a sin ABC SAbc sin 2 1 4 c 又由13cos2 22
12、2 aAbccba 故 3 392 60sin 13 sin A a 4 D 射影定理 C D A B C ADBB DA C 5 D 由已知切化弦得 A Ab B Ba cos sin cos sin 22 又由正弦定理 A AB B BA cos sinsin cos sinsin 22 BABABBAA222sin2sincossincossin 或或BABA 21802 90BA 6 B 2 cos 2 cos2 2 cos 2 sin2 sin BABA BABA C 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin2 C C CC 2 2 2 sin 2 1 2 sin 2 CC 2
13、 C 7 C A B BBA sin sin costansin 即 a b ac bca 2 222 bcbca2 222 B A A B A sin cos1 sin sin 2 tan b a bc acb B A A 2 1 sin sin cos1 222 bcacacb22 222 由 得CAacacc 22 2 8 B 已知即 化弦为 b c B BA2 tan tantan B C BA ABBA sin sin2 sincos cossincossin 45 2 2 cossin2 cos sin AAC A BA 二 9 14 由已知42 4 babcba 故 a 为最长边
14、 故 120A 2 1 4 2 4 4 cos 222 bb bbb A 2 1 82 16 b b 14 10 ab 10 1 由 2 2222 BCABBCAD 42 31 2 22 BC 902 222 ABCABACBC1 sin2 1 A BC R C A D B 1 M 1 3 11 39 由 30 12030 180C 3612 sinsin AC C AB B AC 39 2 1 636 2 1 sin 2 1 AABACS 12 2 23 由 及 360DCBA10 4 7 3 DCBA 150 60 105 451524360DCBA 如图连结 BD 由余弦定理 有 903
15、360cos2 222 CBDBDCDCBCDCBBD 12030150 30ADBCDB 在中 由正弦定理ABD 2 23 45sin 120sin3 AB A D B C 13 4 3 由 222 60 sin60cos40sin80sin240sin80sin 三 14 解 由已知 BC 31 BD 20 CD 21 603525CAD 由余弦定理得 31 23 20312 212031 2 cos 222222 BDBC CDBDBC B 3 31 12 cos1sin 2 BB 又在中 由正弦定理得ABC 24 sin sin A BBC AC 由余弦定理AABACABACBCcos2 222 即 60cos2422431 222 ABAB 或 舍 35038524 2 ABABAB11 AB 千米 15 BDABAD 15 解 如图 在中 ACD 1204575ACD 由正弦定理 30 30120 180CAD 3 30sin 120sin3 sin sin CAD ACDCD AD 在中 BCD 754530BDC 故 60 4575 180CBD 由正弦定理 得2 60sin 45sin3 sinsin BD CBD CD BCD BD 在中 由余弦定理 得 ABD 千米 5545cos232 2 3 222 ABAB
