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1、二次函数、最简分式函数一 基础知识自测题:1 二次函数yax2bxc (a、b、c为常数,a0)的图象当 a0 时为 开口向上 的抛物线;当 a0时,函数的最 小 值是; 当a0 时为 第一、第三象限 的双曲线;当 k0 时为 第二、第四象限 的双曲线。5 将函数y的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到的图象是函数 的图象。 6 已知函数yx27x2, x0, 2),则( C )。(A) ymin2, ymax (B) ymin2, ymax12 (C) ymin2, 无最大值 (D) ymin0, ymax27 函数y的值域是。8 不等式的解集是 (, 3)(2, 1)1, ) 。二
2、基本要求、基本方法:1 理解二次函数、分式函数的概念。2 掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系。3 理解二次函数的图象与二次方程的根的分布,韦达定理的联系,并能灵活应用。4 掌握一般分式函数y的图象与函数y的图象的联系。5 掌握求二次函数和分式函数的最大(小)值的方法。例1 画出函数y|x2x6|的图象,并求出此函数的单调区间。 解:方程x2x60的解是x12, x23,当x3时,x2x60, 当2x3时,x2x60.函数的图象如右图。当x(,2)时,函数y|x2x6|是减函数;当x(2,)时, 函数y|x2x6|是增函数;当x(, 3)时, 函数y|x2x6|是减函数;当x(3,
3、 )时,函数y|x2x6|是增函数。例2 设x1, x2是方程2x24mx(5m29m12)0的两个实数根,(1) 将x12x22表示为m的函数; (2) 求x12x22的最大值和最小值。 解:(1) 方程有两个实数根, 0, 16m28(5m29m12)0, 解得1m4, x12x22(x1x2)22x1x2m29m12, 其中1m4; (2) ym29m12, 对称轴为x4.5在区间1m4的右边, 函数的最大值是ymaxf (4)32, 函数的最小值是yminf (1)2 评注:求二次函数的最大值与最小值的问题,要注意原函数的定义域,分析抛物线的对 称轴是否在定义域内,且要比较定义域的两个
4、端点到对称轴的距离。例3 已知函数y4x24ax(a22a2)在区间0, 2上的最小值是3,求实数a的值。 解:函数y4x24ax(a22a2)的对称轴是x, (1) 当0, 2时,即 0a4时, 函数的最小值是抛物线的顶点纵坐标, ymin2a23,得a0, 2, 舍去;(2) 当0时, 即a0时,对称轴在区间0, 2的左边, yminf (0)a22a23, 解得a1, 又a2时, 即a4时,对称轴在区间0, 2的右边, yminf (2)a2a183, 解得a5, 又a4, a5.综上得a11或a25.三基本技能训练题: 1已知二次函数f (x)x2axb,满足f (1)f (2)0,则
5、f ()的值是( A )。(A) 3 (B) (C)1 (D)2 2已知f (x) (x1, x1),则f (x)等于( A )。 (A) (B)f (x) (C) (D)f (x) 3若函数f (x),则f 的表达式是。 4已知函数y,则它的值域是。 5下列四个命题中正确的是( B )。 (A)函数y3x4的最大值是4 (B)函数y(xa)2b的最大值是b (a, bR) (C)函数y的最小值是0 (D)函数yax2bxc的最大值是(a0)6 已知二次函数x2kx(k2),其图象的对称轴是x2,那么它的最小值是 2 。7 函数的值域是 1,1。8 已知f (x2x)x42x3x21,则f f
6、 (x)的表达式是 x42x22。 四试题精选 (一)选择题: 1若二次函数yx2xm的图象总在x轴的上方,那么实数m的取值范围是( B )。 (A)0m (C)m (D)0m 2二次方程x2(a21)xa40有一个实根大于1,另一个实根小于1,则a的取值范围是( C )。 (A)(1, ) (B)(, 2) (C)(2, 1) (D)2, 1 3如果y,那么( D )。 (A)y最小值5 (B)y最小值 (C)y最大值5 (D)y最大值 4一个二次函数的顶点坐标是(, 25),且它与x轴的两个交点的横坐标的立方和等于19,则这个二次函数的解析式是f (x)( A )。 (A)4x24x24
7、(B)4x24x24 (C)2x22x24 (D)2x22x25 5已知函数f (x)的定义域是4, 5,则函数f (x23)的定义域是( B )。 (A)1, (B),11, (C),) (D)(, ) 6 已知二次函数yax2axa (a0),那么它的图象可能是( A )。 (A) (B) (C) (D) 7若方程x2(k1)x10有大于2的根,则实数k的取值范围是(C)。 (A)(, ) (B)(, (C)(, ) (D), ) 8已知二次函数的对称轴为x2,它经过点(2, 3),且与一次函数的图象交于点(0, 1),而此一次函数的图象与y3x的图象平行,那么已知的二次函数的解析式是(A
8、)。 (A)f (x)x24x1 (B)f (x)x24x1 (C)f (x)x24x1 (D)f (x)x24x1 9抛物线yx2(m2)x5m与x轴的两个交点都在点(2, 0)的右方,则m的取值范围是(A)。 (A)(5, 4 (B)(, 4 (C)(, 2) (D)(, 5)(5, 4) 10若f (x)(m1)x22mx3是定义在(, )上的偶函数,那么f (x)在(0, )上(B)。 (A)是增函数 (B)是减函数 (C)部分增,部分减 (D)不能确定 (二)填空题: 11已知函数f ()x,则函数f (x)的表达式是。 12已知函数f (x)x2x1,则函数f f (x) x42x
9、32x2x1 。 13已知函数f (x)x22x3, x0, 则f(x) 。 14已知函数y (ab0), 则它的最小值是;最大值是。 (三)解答题: 15已知二次函数yx22axa21在0, 1上是减函数,问当a取何值时,函数y在0, 1上的值满足y0恒成立。 解:二次函数yx22axa21的顶点为(a, 1), 它在(, a)上为减函数,a1, 又函数y在0, 1上的值满足y0恒成立, 最小值f (1)0, f (1)12aa210, a2或a2. 16设二次函数yf (x)满足f (x2)f (x2)且图象在y轴上的截距为1,在x轴上截得的线段的长为2,求yf (x)的解析表达式。 解:
10、二次函数yf (x)满足f (x2)f (x2), yf (x)的对称轴为x2, 由函数图象在y轴上的截距为1, f (0)1, 函数图象在x轴上截得的线段的长为2, 它与x轴的交点为(2, 0)和(2, 0), 设f (x)a(x2)(x2), 将f (0)1代入,解得a, f (x)x22x1 17求函数y的值域。 解:将函数y整理化简得2ycosysin20, 引入辅助角得 sin()y2, 1, 化简得3y24y30, y. 18已知函数y2x22ax3在区间1, 1上的最小值是f (a),(1) 求函数f (a)的解析表达式;(2) 求函数g(a)logf (a)的单调区间。 解:(1) y2(x)23, 当a2时, y在区间1, 1上递减,最小值为f (1)2a5; 当2a2时, y在区间1, 1上的最小值为3; f (a) (2) f (a)0, 当a2时, 2a5为递增,f (a)为递减; 当2a时, 52a为递减,f (a)为递增; 当2a0时, 3为递增,f (a)为递减; 当0a2时, 3为递减,f (a)为递增。