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1、青海师范大学附属第二中学高中数学 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系学案 新人教A版必修2 学习要求了解空间中两条直线的位置关系；理解异面直线的概念、画法；理解并掌握公理4及等角定理；掌握异面直线所成角及异面直线垂直，能求一些特殊的异面直线所成角学法指导通过实物观察、抽象出空间两直线位置关系、异面直线概念及夹角的定义，通过在平面上画出直线的位置关系、异面直线及夹角，培养空间想象能力。1空间两条直线的位置关系有且只有三种： 、 、 2异面直线的定义 的两条直线叫做异面直线3公理4：平行于同一条直线的两条直线 4等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应 ，那么这两个角 或 问题情境在平面中没
2、有公共点的两条直线一定平行，但在空间中就不一定成立例如：在十字路口立交桥中，两条路线AB，CD既不相交，又不平行今天我们就来研究空间中直线与直线之间的位置关系探究点一空间两直线的位置关系问题1在同一平面内，两条直线有几种位置关系？问题2观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？问题3如何判断两条直线是异面直线？问题4分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？问题5为了体现异面直线不共面的特点，如何借助平面衬托来画异面直线呢？探究点二公理4问题1在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行在空间中，是否有类似的规律？现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同
3、一平面内的三条直线两两平行的问题2公理4有什么作用？如何用符号语言表示公理4?例1 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形探究点三等角定理导引在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”，在空间中，结论是否仍然成立呢？问题1观察图，在长方体ABCDABCD中，ADC与ADC，ADC与ABC的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？问题2如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，等角定理能推出什么结论？探究点四异面直线所成的角问题1在平面内，两条直线相交成四个角，其中不大于9
4、0度的角称为它们的夹角，用以刻画两直线的错开程度，如图在正方体ABCDEFGH中，异面直线AB与HF的错开程度怎样来刻画？ 问题2异面直线所成的角的大小与O点的位置有关吗？即O点位置不同时，这一角的大小是否改变？问题3异面直线所成角的范围如何？什么是异面直线垂直？问题4如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直吗？为什么？问题5垂直于同一条直线的两条直线是否平行？例2如右图，已知正方体ABCDABCD.(1)哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？(2)直线BA和CC的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线AA垂直？例3如图所示，正方体AC1中，E、F分别是A1B1
5、、B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小达标检测1异面直线是指 ()A空间中两条不相交的直线 B分别位于两个平面内的两条直线C平面内的一条直线与平面外的一条直线D不同在任何一个平面内的两条直线2若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是 ()A异面或平行 B异面或相交 C异面 D相交、平行或异面3下列四个结论中假命题的个数是 ()垂直于同一直线的两条直线互相平行；平行于同一直线的两直线平行；若直线a，b，c满足ab，bc，则ac；若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线A1 B2 C3 D4小结：1判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平
6、行、相交、异面的定义很多情况下，定义就是一种常用的判定方法2在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角将空间问题向平面问题转化，这是学习立体几何的重要的思维途径2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系一、基础过关1分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是()A异面 B平行 C相交 D以上都有可能2若ABAB，ACAC，则有()ABACBACBBACBAC180CBACBAC或BACBAC180DBACBAC3空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是()A空间四边形 B矩形 C菱形 D正方形4“a、b为异面直线”是指：ab，且aDb；
7、a面，b面，且ab；a面，b面，且；a面，b面；不存在面，使a面，b面成立上述结论中，正确的是()A B C D5如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是_6已知正方体ABCDABCD中：(1)BC与CD所成的角为_；(2)AD与BC所成的角为_7如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BC=AD，BE=FA，G、H分别为FA、FD的中点(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？8如图，正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角二、能力提升9.如图所示，已
8、知三棱锥ABCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是()AMN(ACBD)BMN(ACBD)CMN(ACBD)DMN(ACBD)10如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线()A12对 B24对 C36对 D48对11一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：ABEF；AB与CM所成的角为60；EF与MN是异面直线；MNCD.以上结论中正确的序号为_12已知A是BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点，(1)求证：直线EF与BD是异面直线；(2)若ACBD，ACBD，求EF与BD所成的角三、探究与拓展13已知三棱锥ABCD中，ABCD，且直线AB与CD成60角，点M、N分别是BC、AD的中点，求直线AB和MN所成的角跟踪训练1在例1中，如果再加上条件ACBD，那么四边形EFGH是什么图形？跟踪训练2如图，长方体ABCDABCD中，AB2，AD2，AA2.(1)BC和AC所成的角是多少度？(2)AA和BC所成的角是多少度？跟踪训练3如图所示，空间四边形ABCD中，ABCD，ABCD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角
