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1、中 国 科 学 技 术 大 学20052006学年第2学期考试试卷考试科目:线性代数得分:学生所在系:姓名:学号:一、 判断题（30分，每小题6分）。判断下列命题是否正确，并简要说明理由。1. 三维空间向量共面的充要条件是。2. 设为阶实正交方阵，为阶单位阵，则为可逆方阵。3. 设阶非零实矩阵和满足，则的行向量线性相关，并且的行向量也线性相关。4. 设是阶实方阵全体按矩阵的加法与数乘运算构成的线性空间，则满足的阶实方阵的全体构成的子空间。5. 设为方阵，且是实正定对称方阵，则也是实正定对称方阵。二、 计算题（62分）。1. （15分）为何值时，下列线性方程组有解？当有解时，求出该方程组的通解。
2、2. （15分）设阶实方阵，求和。3. （17分）设是由所有2阶实方阵构成的实线性空间。在定义内积后，成为一个欧氏空间。现定义上的变换。（1）证明：是一个线性变换；（2）求在基下的表示矩阵；（3）求的所有特征值与特征向量；（4）求的一组标准正交基，使得在此基下的表示矩阵为对角阵。4. （15分）通过正交变换化二次型为标准形；并判断三维欧氏空间中的曲面是哪一类曲面。三、 证明题（8分）。以下两小题任选一题。1. 设，是阶单位方阵。证明：（1）。（2）。2. 设实对称方阵满足，证明：正交相似于对角形。参考答案及评分标准一、 判断题（30分，每小题6分，判断命题是否正确2分，说明理由4分。）1 正确
3、。共面使得有非零解有非零解有非零解（把当作数组向量，扣2分）2 正确。3 正确。有非零列向量的行向量线性相关。有非零列向量的行向量线性相关。4 正确。集合关于加法、数乘封闭。5 正确。正定对称不全为零正定对称。二、 计算题（共62分）1 （15分）写出方程组的矩阵形式或增广矩阵（3分）对其作初等行变换（6分）当时，方程组有解。（3分）通解（3分）2 令，则有（4分）由，（2分）得（3分）由，或经初等变换，（3分）求得（3分）3 （17分）（1）保持向量的加法和数乘。（3分）（2）由基的象得的表示矩阵（4分）（3）所有特征值为2、2、2、0（3分）所有特征向量分别为“2阶非零对称实方阵”和“2阶非零反对称实方阵”（3分）（没有考虑特征值重数，扣2分；没有考虑特征向量非零，扣2分）（4）（4分）（基向量没有标准化，扣2分；基向量没有写成2阶方阵形式，扣1分）4 （15分）二次型的表示矩阵（3分）的特征值为3、3、0（3分）的特征向量（3分）令，得（3分）曲面为圆柱面（回答椭圆柱面，扣1分）（3分）三、 证明题（8分）。以下两小题任选一题。1 （1）（4分）（2）（4分）2 对称方阵正交相似于对角形（3分）的特征值（3分）适当排列，。（2分）20052006学年第2学期第1页（共1页）
